$a$ を定数とする。曲線 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ の変曲点の個数を調べよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。曲線 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ の変曲点の個数を調べよ。

2. 解き方の手順

変曲点を求めるには、2階導関数を計算し、その符号が変化する点を調べます。

(1) まず、1階導関数 $y'$ を計算します。積の微分法を用いると、

$y' = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x + a)e^x = (x^2 + 4x + 2 + a)e^x$

(2) 次に、2階導関数 $y''$ を計算します。再び積の微分法を用いると、

$y'' = (2x + 4)e^x + (x^2 + 4x + 2 + a)e^x = (x^2 + 6x + 6 + a)e^x$

(3) 変曲点は $y'' = 0$ となる点であるため、$x^2 + 6x + 6 + a = 0$ を解きます（$e^x > 0$ なので）。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 6^2 - 4(6 + a) = 36 - 24 - 4a = 12 - 4a = 4(3 - a)$

(4) 判別式 $D$ の符号によって、変曲点の個数が変わります。

- $D > 0$ つまり $a < 3$ のとき、2つの異なる実数解を持つので、変曲点は2個。

- $D = 0$ つまり $a = 3$ のとき、重解を持つので、その点で符号が変わるかどうか確認が必要です。

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ より $x = -3$。$y'' = (x+3)^2 e^x$ であるから、$x < -3$ でも $x > -3$ でも $y'' \geq 0$ となり $x = -3$ で符号は変わらないので、変曲点は0個。

- $D < 0$ つまり $a > 3$ のとき、実数解を持たないので、変曲点は0個。

3. 最終的な答え

- $a < 3$ のとき、変曲点は2個

- $a \geq 3$ のとき、変曲点は0個