実数 $a$ を定数とする。級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^n \cos(n\pi)$ の収束・発散を調べ、収束する場合は和を求めよ。

## 実力問題27

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^n \cos(n\pi)$ の収束・発散を調べ、収束する場合は和を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos(n\pi)$ は $n$ が偶数のとき $1$ 、奇数のとき $-1$ となるので、$\cos(n\pi) = (-1)^n$ と表すことができる。よって、与えられた級数は以下のように書き換えられる。

$$\sum_{n=1}^{\infty} a^n \cos(n\pi) = \sum_{n=1}^{\infty} a^n (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-a)^n$$

これは、初項 $-a$ 、公比 $-a$ の等比級数である。等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が $1$ より小さいこと、つまり $|-a| < 1$ すなわち $|a| < 1$ である。

$|a|<1$ のとき、等比級数の和は

$$S = \frac{-a}{1-(-a)} = \frac{-a}{1+a}$$

$|a| \ge 1$ のとき、級数は発散する。

3. 最終的な答え

$|a|<1$ のとき収束し、和は $\frac{-a}{1+a}$ である。 $|a| \ge 1$ のとき発散する。

## 実力問題28

1. 問題の内容

(1) すべての正の数 $x$ に対して、等式 $[x] + [x + \frac{1}{2}] = [2x]$ が成り立つことを示せ。

(2) $n$ を自然数の定数とするとき、$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{2^k} + \frac{1}{2}]$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

正の数 $x$ は、整数部分 $m$ と小数部分 $\alpha$ を用いて $x = m + \alpha$ と表せる。ここで $m$ は整数で $0 \le \alpha < 1$ である。

$[x] = m$ である。

$[2x] = [2m+2\alpha]=2m+[2\alpha]$ である。

$[x + \frac{1}{2}] = [m + \alpha + \frac{1}{2}] = m + [\alpha + \frac{1}{2}]$ である。

従って、$[x] + [x + \frac{1}{2}] = m + m + [\alpha + \frac{1}{2}] = 2m + [\alpha + \frac{1}{2}]$ となる。

$\alpha$ の値によって場合分けをする。

(i) $0 \le \alpha < \frac{1}{2}$ のとき、$\alpha + \frac{1}{2} < 1$ なので $[\alpha + \frac{1}{2}] = 0$ となり、$[2\alpha]=0$。

よって $[x] + [x + \frac{1}{2}] = 2m$ であり、$[2x] = 2m$ となり等式が成り立つ。

(ii) $\frac{1}{2} \le \alpha < 1$ のとき、$\alpha + \frac{1}{2} \ge 1$ なので $[\alpha + \frac{1}{2}] = 1$ となり、$1 \le 2\alpha < 2$。従って $[2\alpha]=1$。

よって $[x] + [x + \frac{1}{2}] = 2m + 1$ であり、$[2x] = 2m + 1$ となり等式が成り立つ。

以上より、すべての正の数 $x$ に対して $[x] + [x + \frac{1}{2}] = [2x]$ が成り立つ。

(2)

$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{2^k} + \frac{1}{2}]$ を計算する。

(1)で証明した式を繰り返し用いると、

$$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{2^k} + \frac{1}{2}] = \sum_{k=1}^{\infty} [2\frac{n}{2^{k+1}}] = \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{2^{k-1}}] - [\frac{n}{2^{k-1}}] + [\frac{n}{2^{k}} + \frac{1}{2}]$$

$$= [\frac{n}{2^1} + \frac{1}{2}] + [\frac{n}{2^2} + \frac{1}{2}] + [\frac{n}{2^3} + \frac{1}{2}] + \dots$$

ここで、$s = \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{2^k} + \frac{1}{2}]$ とおく。

(1)の式で、$x = \frac{n}{2}$ とすると、

$$[\frac{n}{2}] + [\frac{n}{2} + \frac{1}{2}] = [n] = n$$

$[x] = n$, $[x+\frac{1}{2}] = [\frac{n}{2} + \frac{1}{2}]$

$x = \frac{n}{2}$ とすると

$[\frac{n}{2}] + [\frac{n}{4}+\frac{1}{2}] = [\frac{n}{2}]$

$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{n}{2^k} + \frac{1}{2}] = n$

3. 最終的な答え

(1) 上記参照

(2) $n$