定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx$ を計算します。

解析学定積分部分分数分解積分対数関数
2025/6/25

1. 問題の内容

定積分 231x21dx\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 1x21\frac{1}{x^2-1} を部分分数分解します。
x21=(x1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1) なので、
1x21=Ax1+Bx+1\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} と置きます。
両辺に (x1)(x+1)(x-1)(x+1) を掛けると、
1=A(x+1)+B(x1)1 = A(x+1) + B(x-1) となります。
x=1x=1 を代入すると、1=A(1+1)+B(11)=2A1 = A(1+1) + B(1-1) = 2A より A=12A = \frac{1}{2} です。
x=1x=-1 を代入すると、1=A(1+1)+B(11)=2B1 = A(-1+1) + B(-1-1) = -2B より B=12B = -\frac{1}{2} です。
したがって、1x21=1/2x11/2x+1=12(1x11x+1)\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) となります。
次に、積分を計算します。
1x1dx=lnx1+C\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C
1x+1dx=lnx+1+C\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C
なので、
1x21dx=12(lnx1lnx+1)+C=12lnx1x+1+C\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C
最後に、定積分を計算します。
231x21dx=12[lnx1x+1]23=12(ln313+1ln212+1)\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{3-1}{3+1} \right| - \ln \left| \frac{2-1}{2+1} \right| \right)
=12(ln24ln13)=12(ln12ln13)=12ln1/21/3=12ln32= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}

3. 最終的な答え

12ln32\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}

「解析学」の関連問題

放物線 $y = -x^2$ と直線 $y = -x - 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

積分面積放物線直線
2025/6/25

曲線 $x = \sin\theta$, $y = \sin2\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)とx軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

積分面積置換積分三角関数
2025/6/25

与えられた2つの関数 $y = -\log_2 x$ と $y = \log_2(2x + 4)$ のグラフを描く問題です。

対数関数グラフ関数の平行移動定義域
2025/6/25

曲線 $x = \sin{\theta}$ と $y = \sin{2\theta}$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題...

積分面積三角関数
2025/6/25

$p > 0, q > 0$ のとき、ベータ関数 $B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$ が存在することを示します。積分範囲を $0$ から $1/2$ ...

積分ベータ関数収束比較定理
2025/6/25

定積分 $\int_{0}^{3} |2x-4| dx$ を計算します。

定積分絶対値積分
2025/6/25

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ のグラフが、点 $P(2, -1)$ と点 $Q(-1, 2)$ を通る。また、点 $P$ における接線の傾きが直線 $PQ$ の傾きに...

微分接線関数のグラフ導関数
2025/6/25

曲線 $y = 2x^2$ 上の点 $(1, 2)$ における接線に垂直な直線(法線)の方程式を求めよ。

微分接線法線微分積分
2025/6/25

$p>0$、 $q>0$のとき、ベータ関数 $B(p, q) = \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$ が存在することを示せ。ただし、積分区間を分割した $\int...

ベータ関数積分積分可能性特異点
2025/6/25

次の不等式を解きます。 $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) > \log_3 x$

対数不等式真数条件二次不等式
2025/6/25