定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx$ を計算します。

解析学定積分部分分数分解積分対数関数
2025/6/25

1. 問題の内容

定積分 231x21dx\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 1x21\frac{1}{x^2-1} を部分分数分解します。
x21=(x1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1) なので、
1x21=Ax1+Bx+1\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} と置きます。
両辺に (x1)(x+1)(x-1)(x+1) を掛けると、
1=A(x+1)+B(x1)1 = A(x+1) + B(x-1) となります。
x=1x=1 を代入すると、1=A(1+1)+B(11)=2A1 = A(1+1) + B(1-1) = 2A より A=12A = \frac{1}{2} です。
x=1x=-1 を代入すると、1=A(1+1)+B(11)=2B1 = A(-1+1) + B(-1-1) = -2B より B=12B = -\frac{1}{2} です。
したがって、1x21=1/2x11/2x+1=12(1x11x+1)\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) となります。
次に、積分を計算します。
1x1dx=lnx1+C\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C
1x+1dx=lnx+1+C\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C
なので、
1x21dx=12(lnx1lnx+1)+C=12lnx1x+1+C\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C
最後に、定積分を計算します。
231x21dx=12[lnx1x+1]23=12(ln313+1ln212+1)\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{3-1}{3+1} \right| - \ln \left| \frac{2-1}{2+1} \right| \right)
=12(ln24ln13)=12(ln12ln13)=12ln1/21/3=12ln32= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}

3. 最終的な答え

12ln32\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}

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