定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx$ を計算します。解析学定積分部分分数分解積分対数関数2025/6/251. 問題の内容定積分 ∫231x2−1dx\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx∫23x2−11dx を計算します。2. 解き方の手順まず、被積分関数 1x2−1\frac{1}{x^2-1}x2−11 を部分分数分解します。x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1)x2−1=(x−1)(x+1) なので、1x2−1=Ax−1+Bx+1\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}x2−11=x−1A+x+1B と置きます。両辺に (x−1)(x+1)(x-1)(x+1)(x−1)(x+1) を掛けると、1=A(x+1)+B(x−1)1 = A(x+1) + B(x-1)1=A(x+1)+B(x−1) となります。x=1x=1x=1 を代入すると、1=A(1+1)+B(1−1)=2A1 = A(1+1) + B(1-1) = 2A1=A(1+1)+B(1−1)=2A より A=12A = \frac{1}{2}A=21 です。x=−1x=-1x=−1 を代入すると、1=A(−1+1)+B(−1−1)=−2B1 = A(-1+1) + B(-1-1) = -2B1=A(−1+1)+B(−1−1)=−2B より B=−12B = -\frac{1}{2}B=−21 です。したがって、1x2−1=1/2x−1−1/2x+1=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)x2−11=x−11/2−x+11/2=21(x−11−x+11) となります。次に、積分を計算します。∫1x−1dx=ln∣x−1∣+C\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C∫x−11dx=ln∣x−1∣+C∫1x+1dx=ln∣x+1∣+C\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C∫x+11dx=ln∣x+1∣+Cなので、∫1x2−1dx=12(ln∣x−1∣−ln∣x+1∣)+C=12ln∣x−1x+1∣+C\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C∫x2−11dx=21(ln∣x−1∣−ln∣x+1∣)+C=21lnx+1x−1+C最後に、定積分を計算します。∫231x2−1dx=12[ln∣x−1x+1∣]23=12(ln∣3−13+1∣−ln∣2−12+1∣)\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{3-1}{3+1} \right| - \ln \left| \frac{2-1}{2+1} \right| \right)∫23x2−11dx=21[lnx+1x−1]23=21(ln3+13−1−ln2+12−1)=12(ln24−ln13)=12(ln12−ln13)=12ln1/21/3=12ln32= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}=21(ln42−ln31)=21(ln21−ln31)=21ln1/31/2=21ln233. 最終的な答え12ln32\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}21ln23