定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2-1}$ を部分分数分解します。

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ なので、

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ と置きます。

両辺に $(x-1)(x+1)$ を掛けると、

$1 = A(x+1) + B(x-1)$ となります。

$x=1$ を代入すると、$1 = A(1+1) + B(1-1) = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$ です。

$x=-1$ を代入すると、$1 = A(-1+1) + B(-1-1) = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$ となります。

次に、積分を計算します。

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C$

$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C$

なので、

$\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{3-1}{3+1} \right| - \ln \left| \frac{2-1}{2+1} \right| \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{1/2}{1/3} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$