(1) 不定積分 $\int \tan^2 x \, dx$ を求めよ。 (2) 定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan^3 x \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不定積分 $\int \tan^2 x \, dx$ を求めよ。

(2) 定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan^3 x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int \tan^2 x \, dx$ を求める。

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ であり、$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ より、 $\tan^2 x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ となる。

したがって、

$\int \tan^2 x \, dx = \int (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) \, dx$

$= \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx - \int 1 \, dx$

$= \tan x - x + C$ (Cは積分定数)

(2) 定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan^3 x \, dx$ を求める。

$\tan^3 x = \tan x \cdot \tan^2 x = \tan x \cdot (\frac{1}{\cos^2 x} - 1) = \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \tan x$

$\int \tan^3 x \, dx = \int \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \, dx - \int \tan x \, dx$

ここで、$t = \tan x$ とすると、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$ より $dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx$ となる。

また、$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x} \, dx = -\log|\cos x| + C$ となる。

したがって、

$\int \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int t \, dt = \frac{1}{2} t^2 + C = \frac{1}{2} \tan^2 x + C$

$\int \tan^3 x \, dx = \frac{1}{2} \tan^2 x - (-\log|\cos x|) + C = \frac{1}{2} \tan^2 x + \log|\cos x| + C$

$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan^3 x \, dx = [\frac{1}{2} \tan^2 x + \log|\cos x|]_0^{\frac{\pi}{3}}$

$= (\frac{1}{2} \tan^2 \frac{\pi}{3} + \log|\cos \frac{\pi}{3}|) - (\frac{1}{2} \tan^2 0 + \log|\cos 0|)$

$= (\frac{1}{2} (\sqrt{3})^2 + \log|\frac{1}{2}|) - (\frac{1}{2} (0)^2 + \log|1|)$

$= \frac{1}{2} \cdot 3 + \log \frac{1}{2} - (0 + 0)$

$= \frac{3}{2} - \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $\tan x - x + C$

(2) $\frac{3}{2} - \log 2$