定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解する。

$2x^2+5x+2 = (2x+1)(x+2)$ であるから、

$\frac{x-4}{2x^2+5x+2} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+2}$

とおける。両辺に $(2x+1)(x+2)$ をかけると、

$x-4 = A(x+2) + B(2x+1)$

$x-4 = (A+2B)x + (2A+B)$

両辺の係数を比較して、

$A+2B = 1$

$2A+B = -4$

この連立方程式を解くと、

$A = -3$, $B = 2$

したがって、

$\frac{x-4}{2x^2+5x+2} = \frac{-3}{2x+1} + \frac{2}{x+2}$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{x-4}{2x^2+5x+2} dx = \int_{0}^{1} (\frac{-3}{2x+1} + \frac{2}{x+2}) dx$

$= [-\frac{3}{2} \ln|2x+1| + 2 \ln|x+2|]_0^1$

$= (-\frac{3}{2} \ln 3 + 2 \ln 3) - (-\frac{3}{2} \ln 1 + 2 \ln 2)$

$= \frac{1}{2} \ln 3 - 2 \ln 2$

$= \ln \sqrt{3} - \ln 4$

$= \ln \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{\sqrt{3}}{4}$