関数 $f(x, y) = (x - y) \log |1 + 3x + 2y|$ をマクローリン展開します。ただし、$|3x + 2y| < 1$とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = (x - y) \log |1 + 3x + 2y|$ をマクローリン展開します。ただし、$|3x + 2y| < 1$とします。

2. 解き方の手順

まず、$\log(1+u)$ のマクローリン展開を考えます。$\log(1+u)$ のマクローリン展開は、

$\log(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}$

と表されます。ここで、条件$|u| < 1$ が必要です。

今回の問題では、$u = 3x + 2y$なので、$\log|1 + 3x + 2y| = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(3x + 2y)^n}{n}$ となります。

これを利用して、$f(x, y) = (x - y) \log |1 + 3x + 2y| = (x-y) \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(3x + 2y)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(x - y)(3x + 2y)^n}{n}$ となります。

この級数表示でいくつか項を書き出すと、

$f(x, y) = (x - y)(3x + 2y) - \frac{(x - y)(3x + 2y)^2}{2} + \frac{(x - y)(3x + 2y)^3}{3} - \dots$

$= (x - y)(3x + 2y) - \frac{1}{2} (x - y)(9x^2 + 12xy + 4y^2) + \frac{1}{3} (x - y)(27x^3 + 54x^2 y + 36xy^2 + 8y^3) - \dots$

$= (3x^2 - xy - 2y^2) - \frac{1}{2}(9x^3 + 12x^2y + 4xy^2 - 9x^2y - 12xy^2 - 4y^3) + \frac{1}{3}(27x^4 + 54x^3y + 36x^2y^2 + 8xy^3 - 27x^3y - 54x^2y^2 - 36xy^3 - 8y^4) - \dots$

$= (3x^2 - xy - 2y^2) - \frac{1}{2}(9x^3 + 3x^2y - 8xy^2 - 4y^3) + \frac{1}{3}(27x^4 + 27x^3y - 18x^2y^2 - 28xy^3 - 8y^4) - \dots$

マクローリン展開なので、原点$(0, 0)$における偏微分係数を用いて表すこともできますが、この場合は上記の級数展開の形が一般的です。

3. 最終的な答え

$f(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(x - y)(3x + 2y)^n}{n} = (x - y) \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(3x + 2y)^n}{n}$