関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ のグラフが、点 $P(2, -1)$ と点 $Q(-1, 2)$ を通る。また、点 $P$ における接線の傾きが直線 $PQ$ の傾きに等しいとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ のグラフが、点 $P(2, -1)$ と点 $Q(-1, 2)$ を通る。また、点 $P$ における接線の傾きが直線 $PQ$ の傾きに等しいとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(2, -1)$ を通ることから、

$-1 = 2^3 + a(2^2) + b(2) + c$

$-1 = 8 + 4a + 2b + c$

$4a + 2b + c = -9$ ...(1)

(2) 点 $Q(-1, 2)$ を通ることから、

$2 = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c$

$2 = -1 + a - b + c$

$a - b + c = 3$ ...(2)

(3) $f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

(4) 点 $P(2, -1)$ における接線の傾きは $f'(2)$ であるから、

$f'(2) = 3(2^2) + 2a(2) + b = 12 + 4a + b$

(5) 直線 $PQ$ の傾きを求める。

$\frac{2 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{3}{-3} = -1$

(6) 点 $P$ における接線の傾きが直線 $PQ$ の傾きに等しいことから、

$12 + 4a + b = -1$

$4a + b = -13$ ...(3)

(7) (1), (2), (3) 式から $a$, $b$, $c$ を求める。

(1) - (2) より

$(4a + 2b + c) - (a - b + c) = -9 - 3$

$3a + 3b = -12$

$a + b = -4$ ...(4)

(3) - (4) より

$(4a + b) - (a + b) = -13 - (-4)$

$3a = -9$

$a = -3$

(4) に代入して

$-3 + b = -4$

$b = -1$

(1) に代入して

$4(-3) + 2(-1) + c = -9$

$-12 - 2 + c = -9$

$-14 + c = -9$

$c = 5$

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -1$, $c = 5$