与えられた関数に対して、マクローリンの定理を適用しなさい。 (1) $log(1+x)$ (2) $(1+x)^\alpha$ (ここで、$\alpha$ は実数)

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、マクローリンの定理を適用しなさい。

(1) $log(1+x)$

(2) $(1+x)^\alpha$ (ここで、$\alpha$ は実数)

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = log(1+x)$ のマクローリン展開を求める。

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開である。

$f(x)$ の導関数をいくつか計算する。

$f(x) = log(1+x)$

$f(0) = log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

$f^{(4)}(0) = -6$

一般に、$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$

マクローリン展開は

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$

$log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

(2) 関数 $g(x) = (1+x)^\alpha$ のマクローリン展開を求める。

$g(x) = (1+x)^\alpha$

$g(0) = (1+0)^\alpha = 1$

$g'(x) = \alpha (1+x)^{\alpha - 1}$

$g'(0) = \alpha$

$g''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}$

$g''(0) = \alpha(\alpha-1)$

$g'''(x) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(1+x)^{\alpha-3}$

$g'''(0) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)$

一般に、$g^{(n)}(x) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$

$g^{(n)}(0) = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)$

マクローリン展開は

$g(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 + \frac{g'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

$g(x) = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots$

これは二項定理の一般化である。

$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n$

3. 最終的な答え

(1) $log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

(2) $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots$