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無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の和を求める問題です。

解析学無限級数等比級数和
2025/6/26

1. 問題の内容

無限等比級数 ∑n=1∞3(12)n−1\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この無限等比級数の和を求めるためには、まず初項 aa と公比 rr を特定します。
この級数は、
3(12)1−1+3(12)2−1+3(12)3−1+…3\left(\frac{1}{2}\right)^{1-1} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} + \dots
=3(12)0+3(12)1+3(12)2+…= 3\left(\frac{1}{2}\right)^{0} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{1} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \dots
=3+32+34+…= 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots
と展開できます。したがって、初項は a=3a = 3 であり、公比は r=12r = \frac{1}{2} です。
無限等比級数の和を求める公式は、 ∣r∣<1|r| < 1 のとき、
S=a1−rS = \frac{a}{1-r}
で与えられます。今回の問題では、∣r∣=∣12∣=12<1|r| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1 であるため、公式を適用できます。
S=31−12=312=3⋅2=6S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2 = 6

3. 最終的な答え

6

「解析学」の関連問題

問題は、次の無限級数 $S$ の値を求めることです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}} + \dots$

無限級数等比級数級数の和
2025/6/26

## 1. 問題の内容

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