## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$ (ただし、$a > 0$, $b > 0$は定数)

(3) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log(x + x^2)}{\sqrt{1 + x^3}}$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log(\cos x)}{\log(1 - x^2)}$

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2. 解き方の手順

### (1) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$

ロピタルの定理を適用します。

$x \to 0$ のとき、$x^3 \to 0$ かつ $x - \sin x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

1回微分すると、$\frac{3x^2}{1 - \cos x}$ となります。これも $x \to 0$ で $\frac{0}{0}$ の不定形です。

もう一度微分すると、$\frac{6x}{\sin x}$ となります。これも $x \to 0$ で $\frac{0}{0}$ の不定形です。

さらにもう一度微分すると、$\frac{6}{\cos x}$ となります。

したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} = \frac{6}{1} = 6

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### (2) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$

これもロピタルの定理を適用します。

$x \to 0$ のとき、$a^x - b^x \to 1 - 1 = 0$ かつ $x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

微分すると、$\frac{a^x \log a - b^x \log b}{1}$ となります。

したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} (a^x \log a - b^x \log b) = \log a - \log b = \log \frac{a}{b}

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### (3) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log(x + x^2)}{\sqrt{1 + x^3}}$

$x$ が大きいとき、$x + x^2 \approx x^2$ であり、$\sqrt{1 + x^3} \approx \sqrt{x^3} = x^{3/2}$ なので、

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\lim_{x \to +\infty} \frac{\log(x + x^2)}{\sqrt{1 + x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\log(x^2)}{x^{3/2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 \log x}{x^{3/2}}

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ロピタルの定理を適用します。

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\lim_{x \to +\infty} \frac{2 \log x}{x^{3/2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2/x}{(3/2) x^{1/2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{3 x^{3/2}} = 0

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### (4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{\log(\cos x)}{\log(1 - x^2)}$

$x \to 1$ のとき、$\cos x \to \cos 1$ であり、$1 - x^2 = (1-x)(1+x) \to 0$ なので、$\log(\cos x) \to \log (\cos 1)$ および $\log(1-x^2) \to -\infty$ となります。したがって、

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\lim_{x \to 1-0} \frac{\log(\cos x)}{\log(1 - x^2)} = \frac{\log(\cos 1)}{-\infty} = 0

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3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $\log \frac{a}{b}$

(3) 0

(4) 0