与えられた問題は、数列 $\frac{2^n}{n^2}$ の $n$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。つまり、 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} $$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、数列 $\frac{2^n}{n^2}$ の $n$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。つまり、

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\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2}

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を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を繰り返し適用します。ただし、ロピタルの定理は連続変数に対して適用されるため、まず $n$ を実変数 $x$ に置き換えて考えます。

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\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{x^2}

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ここで、ロピタルの定理を適用します。$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分は $\frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \ln{2}$、分母の微分は $\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$ です。したがって、

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\lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln{2}}{2x}

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これも $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分は $\frac{d}{dx} (2^x \ln{2}) = 2^x (\ln{2})^2$、分母の微分は $\frac{d}{dx} (2x) = 2$ です。したがって、

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\lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln{2})^2}{2}

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この極限は $\infty$ に発散します。したがって、元の極限も $\infty$ に発散します。

3. 最終的な答え

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\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} = \infty

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