$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、ロピタルの定理を適用します。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形の極限において、$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ または $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$ の場合、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つという定理です。

まず、$n$を実数$x$に置き換えて、関数 $f(x) = 2^x$ と $g(x) = x^2$ を考えます。

$x \to \infty$ のとき、$2^x \to \infty$ かつ $x^2 \to \infty$ なので、ロピタルの定理を適用できます。

$f'(x) = 2^x \ln(2)$

$g'(x) = 2x$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln(2)}{2x}$

再び、$x \to \infty$ のとき、$2^x \ln(2) \to \infty$ かつ $2x \to \infty$ なので、ロピタルの定理をもう一度適用できます。

$f''(x) = 2^x (\ln(2))^2$

$g''(x) = 2$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln(2)}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln(2))^2}{2}$

$x \to \infty$ のとき、$2^x (\ln(2))^2 \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln(2))^2}{2} = \infty$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$