問題は2つの重積分を計算することです。 (1) 積分領域 $D_1$ 上で $\log(xy)$ を積分します。ここで $D_1 = \{(x,y) | 1 \le y \le x \le e\}$ です。 (2) 積分領域 $D_2$ 上で $\sin^2(x^2 + y^2)$ を積分します。ここで $D_2 = \{(x,y) | \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$ です。

1. 問題の内容

問題は2つの重積分を計算することです。

(1) 積分領域 $D_1$ 上で $\log(xy)$ を積分します。ここで $D_1 = \{(x,y) | 1 \le y \le x \le e\}$ です。

(2) 積分領域 $D_2$ 上で $\sin^2(x^2 + y^2)$ を積分します。ここで $D_2 = \{(x,y) | \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$ です。

2. 解き方の手順

(1) 重積分 $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy$ を計算します。

積分領域は $1 \le y \le x \le e$ なので、積分範囲は $1 \le y \le e$ と $y \le x \le e$ となります。

$\log(xy) = \log x + \log y$ であることを利用します。

まず $x$ で積分します。

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\int_{y}^{e} (\log x + \log y) \, dx = [x\log x - x + x\log y]_{y}^{e} = (e \log e - e + e \log y) - (y \log y - y + y \log y) = e(1-1+\log y) - (2y\log y - y) = e\log y - 2y\log y + y

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次に $y$ で積分します。

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\int_{1}^{e} (e\log y - 2y\log y + y) \, dy = e\int_{1}^{e} \log y \, dy - 2\int_{1}^{e} y\log y \, dy + \int_{1}^{e} y \, dy

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$\int_{1}^{e} \log y \, dy = [y\log y - y]_{1}^{e} = (e\log e - e) - (1\log 1 - 1) = e - e - 0 + 1 = 1$

$\int_{1}^{e} y\log y \, dy = [\frac{1}{2}y^2\log y - \frac{1}{4}y^2]_{1}^{e} = (\frac{1}{2}e^2\log e - \frac{1}{4}e^2) - (\frac{1}{2}(1)^2\log 1 - \frac{1}{4}(1)^2) = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$

$\int_{1}^{e} y \, dy = [\frac{1}{2}y^2]_{1}^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}$

したがって、

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e(1) - 2(\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = e - 1

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(2) 重積分 $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy$ を計算します。

積分領域は $\pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0$ です。

極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を行います。

$x^2 + y^2 = r^2$ であるので、$\pi \le r^2 \le 2\pi$ となり、$\sqrt{\pi} \le r \le \sqrt{2\pi}$ となります。

$x \ge 0, y \le 0$ なので、$\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$ となります。

積分は

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\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) \, r \, dr \, d\theta

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$\sin^2(r^2) = \frac{1 - \cos(2r^2)}{2}$ であるので、

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\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \frac{1 - \cos(2r^2)}{2} \, r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \frac{1 - \cos(2r^2)}{2} \, r \, dr

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$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} d\theta = [ \theta ]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$u = r^2$ とおくと $du = 2r dr$ となり、

$\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \frac{1 - \cos(2r^2)}{2} \, r \, dr = \frac{1}{4} \int_{\pi}^{2\pi} (1 - \cos(2u)) \, du = \frac{1}{4} [u - \frac{1}{2}\sin(2u)]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{4} [(2\pi - \frac{1}{2}\sin(4\pi)) - (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi))] = \frac{1}{4} (2\pi - \pi) = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $e-1$

(2) $\frac{\pi^2}{8}$