$f(x) = x^3 + ax + a + 5$ について、 (1) $f(x)$ が $x=1$ で極小となるとき、$a$ の値を求め、極小値を求める。 (2) $0 < t < 1$ のとき、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線を $y=g(x)$ とする。連立不等式 $y \le f(x), y \ge g(x), x \le 2$ で表される領域を $D$ とし、$D$ の面積を $S(t)$ とする。$S(t)$ を $t$ で表す。 (3) (2) の $S(t)$ が最小となるときの $t$ の値を求めよ。また、このとき、$D$ のうち $x \ge 0$ を満たす部分の面積を $S_1$, $x \le 0$ を満たす部分の面積を $S_2$ とする。$S_1 : S_2$ を最も簡単な整数比で表す。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax + a + 5$ について、

(1) $f(x)$ が $x=1$ で極小となるとき、$a$ の値を求め、極小値を求める。

(2) $0 < t < 1$ のとき、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線を $y=g(x)$ とする。連立不等式 $y \le f(x), y \ge g(x), x \le 2$ で表される領域を $D$ とし、$D$ の面積を $S(t)$ とする。$S(t)$ を $t$ で表す。

(3) (2) の $S(t)$ が最小となるときの $t$ の値を求めよ。また、このとき、$D$ のうち $x \ge 0$ を満たす部分の面積を $S_1$, $x \le 0$ を満たす部分の面積を $S_2$ とする。$S_1 : S_2$ を最も簡単な整数比で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 + ax + a + 5$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 + a$

$x=1$ で極小となるので、$f'(1) = 0$ より

$3(1)^2 + a = 0$

$a = -3$

$f(x) = x^3 - 3x - 3 + 5 = x^3 - 3x + 2$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$

増減表より、$x=1$ で極小、$x=-1$ で極大となる。

極小値は $f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

(2)

$y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線 $y=g(x)$ は、

$f'(x) = 3x^2 - 3$ より、$f'(t) = 3t^2 - 3$ だから

$g(x) = (3t^2 - 3)(x - t) + f(t)$

$f(t) = t^3 - 3t + 2$

$g(x) = (3t^2 - 3)(x - t) + t^3 - 3t + 2$

$g(x) = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t + 2$

$g(x) = (3t^2 - 3)x - 2t^3 + 2$

$y \le f(x), y \ge g(x), x \le 2$ で表される領域 $D$ の面積 $S(t)$ は、

$S(t) = \int_t^2 (f(x) - g(x)) dx$

$f(x) - g(x) = x^3 - 3x + 2 - ((3t^2 - 3)x - 2t^3 + 2) = x^3 - 3t^2 x + 2t^3$

$S(t) = \int_t^2 (x^3 - 3t^2 x + 2t^3) dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{3}{2} t^2 x^2 + 2t^3 x \right]_t^2$

$= (\frac{1}{4} (16) - \frac{3}{2} t^2 (4) + 2t^3 (2)) - (\frac{1}{4} t^4 - \frac{3}{2} t^2 t^2 + 2t^3 t)$

$= 4 - 6t^2 + 4t^3 - \frac{1}{4} t^4 + \frac{3}{2} t^4 - 2t^4$

$= 4 - 6t^2 + 4t^3 - \frac{3}{4} t^4$

$S(t) = - \frac{3}{4} t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 4$

(3)

$S(t) = - \frac{3}{4} t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 4$ を微分する。

$S'(t) = -3t^3 + 12t^2 - 12t = -3t(t^2 - 4t + 4) = -3t(t - 2)^2$

$0 < t < 1$ のとき、$S'(t) < 0$ より、$S(t)$ は単調減少。

したがって、$S(t)$ が最小となるのは、$t=1$ のとき。

$t=1$ のとき、

$g(x) = (3(1)^2 - 3)x - 2(1)^3 + 2 = 0x - 2 + 2 = 0$

$y = f(x) = x^3 - 3x + 2$

$S_1 = \int_0^2 (x^3 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 2x \right]_0^2 = \frac{1}{4} (16) - \frac{3}{2} (4) + 2(2) = 4 - 6 + 4 = 2$

$S_2 = \int_{-2}^0 (x^3 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 2x \right]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{4} (16) - \frac{3}{2} (4) + 2(-2)) = - (4 - 6 - 4) = - (-6) = 6$

$S_1 : S_2 = 2 : 6 = 1 : 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, 極小値 $0$

(2) $S(t) = - \frac{3}{4} t^4 + 4t^3 - 6t^2 + 4$

(3) $t = 1$, $S_1 : S_2 = 1 : 3$