与えられた定積分を計算します。具体的には、 $\pi \int_{0}^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。具体的には、

$\pi \int_{0}^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 d\theta$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(1-\cos\theta)^3$ を展開します。

$(1-\cos\theta)^3 = 1 - 3\cos\theta + 3\cos^2\theta - \cos^3\theta$

次に、各項の積分を計算します。

$\int_{0}^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi$

$\int_{0}^{2\pi} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{0}^{2\pi} = \pi + 0 - 0 - 0 = \pi$

$\int_{0}^{2\pi} \cos^3\theta d\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos\theta (1-\sin^2\theta) d\theta = \int_{0}^{2\pi} (\cos\theta - \cos\theta\sin^2\theta) d\theta = \left[\sin\theta - \frac{\sin^3\theta}{3}\right]_{0}^{2\pi} = 0 - 0 = 0$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 d\theta = \int_{0}^{2\pi} (1 - 3\cos\theta + 3\cos^2\theta - \cos^3\theta) d\theta = 2\pi - 3(0) + 3\pi - 0 = 5\pi$

最後に、$\pi$ を掛けて、

$\pi \int_{0}^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 d\theta = \pi (5\pi) = 5\pi^2$

3. 最終的な答え

$5\pi^2$