与えられた定積分を計算する問題です。 積分は次のようになります。 $\pi \int_{0}^{2\pi} (1 - r\cos\theta)^3 d\theta$ ここで、$r$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

積分は次のようになります。

$\pi \int_{0}^{2\pi} (1 - r\cos\theta)^3 d\theta$

ここで、$r$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、$(1 - r\cos\theta)^3$ を展開します。

$(1 - r\cos\theta)^3 = 1 - 3r\cos\theta + 3r^2\cos^2\theta - r^3\cos^3\theta$

したがって、積分は次のようになります。

$\pi \int_{0}^{2\pi} (1 - 3r\cos\theta + 3r^2\cos^2\theta - r^3\cos^3\theta) d\theta$

積分を各項に分けます。

$\pi \left[ \int_{0}^{2\pi} 1 d\theta - 3r\int_{0}^{2\pi} \cos\theta d\theta + 3r^2\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta - r^3\int_{0}^{2\pi} \cos^3\theta d\theta \right]$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi$

$\int_{0}^{2\pi} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{0}^{2\pi} = \pi$

$\int_{0}^{2\pi} \cos^3\theta d\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos\theta (1 - \sin^2\theta) d\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos\theta d\theta - \int_{0}^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta d\theta$

ここで、$\int_{0}^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0$ であり、$u = \sin\theta$ とすると $du = \cos\theta d\theta$ なので、

$\int_{0}^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta d\theta = \int_{0}^{0} u^2 du = 0$

したがって、$\int_{0}^{2\pi} \cos^3\theta d\theta = 0$

これらの結果を元の式に代入します。

$\pi [ 2\pi - 3r(0) + 3r^2(\pi) - r^3(0) ] = \pi [ 2\pi + 3\pi r^2 ] = 2\pi^2 + 3\pi^2 r^2$

3. 最終的な答え

$2\pi^2 + 3\pi^2 r^2$

$\pi^2(2+3r^2)$