与えられた積分領域において、二重積分を計算する問題です。 (1) $\iint_{D_1} \log(xy) \,dxdy$, $D_1 = \{(x, y) \mid 1 \le y \le x \le e\}$ (2) $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \,dxdy$, $D_2 = \{(x, y) \mid \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$

1. 問題の内容

与えられた積分領域において、二重積分を計算する問題です。

(1) $\iint_{D_1} \log(xy) \,dxdy$, $D_1 = \{(x, y) \mid 1 \le y \le x \le e\}$

(2) $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \,dxdy$, $D_2 = \{(x, y) \mid \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$

2. 解き方の手順

(1)

積分領域 $D_1$ は、$1 \le y \le x \le e$ で定義されています。これは、直線 $y=1$, $y=x$, $x=e$ で囲まれた領域です。

積分は以下のようになります。

$\iint_{D_1} \log(xy) \,dxdy = \int_1^e \int_y^e \log(xy) \,dxdy$

$\log(xy) = \log x + \log y$ であるから、

$\int_1^e \int_y^e (\log x + \log y) \,dxdy$

まず、$x$ について積分します。

$\int_y^e (\log x + \log y) \,dx = [x\log x - x + x\log y]_y^e = (e\log e - e + e\log y) - (y\log y - y + y\log y) = e - e + e\log y - y\log y + y - y\log y = e\log y - 2y\log y + y$

次に、$y$ について積分します。

$\int_1^e (e\log y - 2y\log y + y) \,dy = e\int_1^e \log y \,dy - 2\int_1^e y\log y \,dy + \int_1^e y \,dy$

$\int_1^e \log y \,dy = [y\log y - y]_1^e = (e\log e - e) - (1\log 1 - 1) = e - e - 0 + 1 = 1$

$\int_1^e y\log y \,dy = [\frac{1}{2}y^2\log y - \frac{1}{4}y^2]_1^e = (\frac{1}{2}e^2\log e - \frac{1}{4}e^2) - (\frac{1}{2}\cdot 1^2\log 1 - \frac{1}{4}\cdot 1^2) = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2 - 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$

$\int_1^e y \,dy = [\frac{1}{2}y^2]_1^e = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}$

したがって、

$e(1) - 2(\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}) = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = e - 1$

(2)

積分領域 $D_2$ は、$\pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0$ で定義されています。これは、$x^2 + y^2 = \pi$ と $x^2 + y^2 = 2\pi$ の間の領域で、$x \ge 0$ かつ $y \le 0$ の部分です。つまり、半径が$\sqrt{\pi}$から$\sqrt{2\pi}$の円環の第4象限の部分です。

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

$x^2 + y^2 = r^2$ より、$\pi \le r^2 \le 2\pi$、つまり、$\sqrt{\pi} \le r \le \sqrt{2\pi}$。また、$x \ge 0, y \le 0$ より、$\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$

$\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \,dxdy = \int_{3\pi/2}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r \,drd\theta$

$\int_{3\pi/2}^{2\pi} d\theta = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$u = r^2$ とおくと、$du = 2rdr$ より、$rdr = \frac{1}{2}du$

$\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r \,dr = \int_{\pi}^{2\pi} \sin^2(u) \frac{1}{2} \,du = \frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \sin^2(u) \,du = \frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2u)}{2} \,du = \frac{1}{4} \int_{\pi}^{2\pi} (1 - \cos(2u)) \,du = \frac{1}{4} [u - \frac{1}{2}\sin(2u)]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{4} [(2\pi - \frac{1}{2}\sin(4\pi)) - (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi))] = \frac{1}{4} [2\pi - 0 - \pi + 0] = \frac{1}{4}\pi$

したがって、

$\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \,dxdy = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $e - 1$

(2) $\frac{\pi^2}{8}$