(1) 積分領域 $D_1 = \{(x, y) | 1 \le y \le x \le e\}$ において、二重積分 $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy$ を計算します。 (2) 積分領域 $D_2 = \{(x, y) | \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$ において、二重積分 $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

(1) 積分領域 $D_1 = \{(x, y) | 1 \le y \le x \le e\}$ において、二重積分 $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy$ を計算します。

(2) 積分領域 $D_2 = \{(x, y) | \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$ において、二重積分 $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分領域 $D_1$ を考えると、$1 \le y \le x$ かつ $x \le e$ なので、$y$ の積分範囲は $1 \le y \le e$ で、$x$ の積分範囲は $y \le x \le e$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy = \int_{1}^{e} \int_{y}^{e} \log(xy) \, dxdy$

ここで、$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$ なので、

$\int_{1}^{e} \int_{y}^{e} (\log(x) + \log(y)) \, dxdy = \int_{1}^{e} \left[ x\log(x) - x + x\log(y) \right]_{x=y}^{x=e} \, dy$

$= \int_{1}^{e} (e\log(e) - e + e\log(y) - (y\log(y) - y + y\log(y))) \, dy$

$= \int_{1}^{e} (e - e + e\log(y) - y\log(y) + y) \, dy$

$= \int_{1}^{e} (e\log(y) - y\log(y) + y) \, dy$

$= \int_{1}^{e} (e\log(y) - y\log(y)) dy + \int_1^e y dy$

$= (e-y) \int_{1}^{e} \log(y) dy + \int_1^e y dy$

ここで、$\int_{1}^{e} \log(y) dy = [y \log y - y]_1^e = (e-e) - (-1) = 1$

$= (e-y) [y \log y - y]_1^e + \int_1^e y dy$

$= (e-y)(e \log e - e - (\log 1 - 1)) + \int_1^e y dy$

$= (e-y)(e - e +1) + \int_1^e y dy$

$= \int_{1}^{e} e\log(y) - y\log(y) + y \, dy = [e(y\log(y)-y) - (\frac{1}{2}y^2\log(y) - \frac{1}{4}y^2) + \frac{1}{2}y^2]_1^e$

$= [ey\log y - ey - \frac{1}{2}y^2 \log y + \frac{y^2}{4} + \frac{y^2}{2}]_1^e$

$= e^2 - e^2 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{e^2}{4} + \frac{e^2}{2} - (0 - e + 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{e^2}{4} + e - \frac{3}{4}$

(2)

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$D_2$ は $\pi \le r^2 \le 2\pi$ つまり $\sqrt{\pi} \le r \le \sqrt{2\pi}$ で、$x \ge 0, y \le 0$ より $\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r \, dr d\theta$

ここで、$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} d\theta = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ となります。また、$u = r^2$ とすると $du = 2r dr$ なので、$r dr = \frac{1}{2} du$ であり、積分範囲は $\pi \le u \le 2\pi$ となります。

$\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r \, dr = \frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \sin^2(u) \, du$

ここで、$\sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2}$ なので、

$\frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2u)}{2} \, du = \frac{1}{4} \int_{\pi}^{2\pi} (1 - \cos(2u)) \, du = \frac{1}{4} \left[ u - \frac{1}{2}\sin(2u) \right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{4} (2\pi - \pi) = \frac{\pi}{4}$

したがって、$\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^2}{4} + e - \frac{3}{4}$

(2) $\frac{\pi^2}{8}$