この問題は、二つの二重積分を計算する問題です。それぞれの問題で積分領域が定義されています。 (1) $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy$, ここで $D_1 = \{(x, y) | 1 \le y \le x \le e\}$ (2) $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy$, ここで $D_2 = \{(x, y) | \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$

はい、承知しました。問題文を理解し、丁寧に解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は、二つの二重積分を計算する問題です。それぞれの問題で積分領域が定義されています。

(1) $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy$, ここで $D_1 = \{(x, y) | 1 \le y \le x \le e\}$

(2) $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy$, ここで $D_2 = \{(x, y) | \pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi, x \ge 0, y \le 0\}$

2. 解き方の手順

(1) 二重積分 $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy$ の計算

まず、積分領域 $D_1$ を考えると、$1 \le y \le x \le e$ ですから、$y$ は1から$e$まで変化し、$x$ は $y$ から $e$ まで変化します。したがって、積分は次のようになります。

$\int_1^e \int_y^e \log(xy) \, dx dy$

ここで、$\log(xy) = \log(x) + \log(y)$ なので、

$\int_1^e \int_y^e (\log(x) + \log(y)) \, dx dy$

まず、内側の積分を計算します。

$\int_y^e (\log(x) + \log(y)) \, dx = [x\log(x) - x + x\log(y)]_y^e = (e\log(e) - e + e\log(y)) - (y\log(y) - y + y\log(y)) = e - e + e\log(y) - y\log(y) + y - y\log(y) = e\log(y) - 2y\log(y) + y$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_1^e (e\log(y) - 2y\log(y) + y) \, dy = e\int_1^e \log(y) \, dy - 2\int_1^e y\log(y) \, dy + \int_1^e y \, dy$

ここで、部分積分を用いて計算します。

$\int_1^e \log(y) dy = [y\log(y) - y]_1^e = (e\log(e) - e) - (1\log(1) - 1) = e - e - 0 + 1 = 1$

$\int_1^e y\log(y) dy = [\frac{1}{2}y^2\log(y)]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}y^2 \frac{1}{y} dy = \frac{1}{2}e^2\log(e) - \frac{1}{2}(1)^2\log(1) - \int_1^e \frac{1}{2}y dy = \frac{1}{2}e^2 - 0 - [\frac{1}{4}y^2]_1^e = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$

$\int_1^e y \, dy = [\frac{1}{2}y^2]_1^e = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}$

したがって、

$e\int_1^e \log(y) \, dy - 2\int_1^e y\log(y) \, dy + \int_1^e y \, dy = e(1) - 2(\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = e - 1$

(2) 二重積分 $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy$ の計算

積分領域 $D_2$ は、$\pi \le x^2 + y^2 \le 2\pi$, $x \ge 0$, $y \le 0$ であり、これは半径が$\sqrt{\pi}$と$\sqrt{2\pi}$の円環のうち、第4象限にある部分です。極座標変換を行うと、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = r dr d\theta$ となり、$\pi \le r^2 \le 2\pi$ より $\sqrt{\pi} \le r \le \sqrt{2\pi}$、また、$x \ge 0$, $y \le 0$ より $\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) r \, dr d\theta$

ここで、$\sin^2(r^2) = \frac{1 - \cos(2r^2)}{2}$ なので、

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \frac{1 - \cos(2r^2)}{2} r \, dr d\theta$

まず、内側の積分を計算します。

$\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \frac{1 - \cos(2r^2)}{2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} (r - r\cos(2r^2)) \, dr = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}r^2 - \frac{1}{4}\sin(2r^2)]_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{2} [(\frac{1}{2}(2\pi) - \frac{1}{4}\sin(4\pi)) - (\frac{1}{2}(\pi) - \frac{1}{4}\sin(2\pi))] = \frac{1}{2} [(\pi - 0) - (\frac{\pi}{2} - 0)] = \frac{1}{2} (\pi - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \frac{\pi}{4} \, d\theta = \frac{\pi}{4} [\theta]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = \frac{\pi}{4} (2\pi - \frac{3\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\iint_{D_1} \log(xy) \, dxdy = e - 1$

(2) $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dxdy = \frac{\pi^2}{8}$