$1 \le x \le 16$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 16$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を変形します。$\log_2 x^2 = 2 \log_2 x$ であるから、

$y = (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、$y = t^2 - 2t$ となります。

$1 \le x \le 16$ より、$\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 16$。したがって、$0 \le t \le 4$。

$y = t^2 - 2t = (t-1)^2 - 1$

この関数は、下に凸な放物線であり、軸は $t=1$ である。定義域は $0 \le t \le 4$ である。

$t=1$ のとき、$y = -1$

$t=0$ のとき、$y = 0^2 - 2(0) = 0$

$t=4$ のとき、$y = 4^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8$

したがって、$t=4$ で最大値 $8$ をとり、$t=1$ で最小値 $-1$ をとる。

$t = \log_2 x$ であるから、

$t=1$ のとき、$\log_2 x = 1$ より $x = 2^1 = 2$。

$t=4$ のとき、$\log_2 x = 4$ より $x = 2^4 = 16$。

よって、$x=16$ のとき最大値 $8$ をとり、$x=2$ のとき最小値 $-1$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値：8 （x=16のとき）

最小値：-1 （x=2のとき）