$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。 (1) $\sin x + \cos x \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\sqrt{2} \le \sin x - \sqrt{3}\cos x < \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。

(1) $\sin x + \cos x \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\sqrt{2} \le \sin x - \sqrt{3}\cos x < \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin x + \cos x$ を合成する。

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x+\frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin (x+\frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{2}$

$x + \frac{\pi}{4} = \theta$ とおくと、$0+\frac{\pi}{4} \le \theta < 2\pi + \frac{\pi}{4}$。

$\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$。

したがって、$\frac{\pi}{6} \le x+\frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{6}$ より、

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{2\pi-3\pi}{12} \le x \le \frac{10\pi-3\pi}{12}$

$-\frac{\pi}{12} \le x \le \frac{7\pi}{12}$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$0 \le x \le \frac{7\pi}{12}$

(2) $\sin x - \sqrt{3} \cos x$ を合成する。

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2\sin(x-\frac{\pi}{3})$

$\sqrt{2} \le 2\sin(x-\frac{\pi}{3}) < \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin(x-\frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x-\frac{\pi}{3} = \theta$ とおくと、$-\frac{\pi}{3} \le \theta < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta \le \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} \le x-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < x-\frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} < x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{12} \le x < \frac{2\pi}{3}$ または $\pi < x \le \frac{13\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le \frac{7\pi}{12}$

(2) $\frac{7\pi}{12} \le x < \frac{2\pi}{3}$ または $\pi < x \le \frac{13\pi}{12}$