定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理する。

$\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{1/3}} - \frac{1}{x^{1/3}} = x^{2/3} - x^{-1/3}$

よって、与えられた積分は

$\int_{1}^{2} (x^{2/3} - x^{-1/3}) dx$

となる。次に、積分を計算する。

$\int (x^{2/3} - x^{-1/3}) dx = \int x^{2/3} dx - \int x^{-1/3} dx$

$\int x^{2/3} dx = \frac{x^{(2/3)+1}}{(2/3)+1} + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5} x^{5/3} + C$

$\int x^{-1/3} dx = \frac{x^{(-1/3)+1}}{(-1/3)+1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2} x^{2/3} + C$

したがって、

$\int (x^{2/3} - x^{-1/3}) dx = \frac{3}{5} x^{5/3} - \frac{3}{2} x^{2/3} + C$

定積分を計算する。

$\int_{1}^{2} (x^{2/3} - x^{-1/3}) dx = \left[ \frac{3}{5} x^{5/3} - \frac{3}{2} x^{2/3} \right]_{1}^{2}$

$= \left( \frac{3}{5} (2^{5/3}) - \frac{3}{2} (2^{2/3}) \right) - \left( \frac{3}{5} (1^{5/3}) - \frac{3}{2} (1^{2/3}) \right)$

$= \frac{3}{5} (2^{5/3}) - \frac{3}{2} (2^{2/3}) - \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$

$= \frac{3}{5} (2 \cdot 2^{2/3}) - \frac{3}{2} (2^{2/3}) - \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$

$= \frac{6}{5} (2^{2/3}) - \frac{3}{2} (2^{2/3}) - \frac{6}{10} + \frac{15}{10}$

$= (\frac{6}{5} - \frac{3}{2}) 2^{2/3} + \frac{9}{10}$

$= (\frac{12-15}{10}) 2^{2/3} + \frac{9}{10}$

$= -\frac{3}{10} 2^{2/3} + \frac{9}{10}$

$= \frac{9 - 3 \cdot 2^{2/3}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{9 - 3 \cdot 2^{2/3}}{10}$