問題は、次の無限級数 $S$ の値を求めることです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}} + \dots$

1. 問題の内容

問題は、次の無限級数 $S$ の値を求めることです。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}} + \dots$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を次のように書きます。

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n-1}} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots$

次に、$\frac{1}{3}S$ を計算します。

$\frac{1}{3}S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$

$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots)$

$\frac{2}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{4}{3^3} - \frac{3}{3^3}) + \dots$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}$

ここで、$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}$ は初項 $1$, 公比 $\frac{1}{3}$ の無限等比級数なので、その和は $\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$ となります。

したがって、$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}$ となり、 $S = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$