曲線 $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ ($0 \le t \le 1$) の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ ($0 \le t \le 1$) の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線 $x = x(t), y = y(t)$ ($a \le t \le b$) の長さ $L$ は、

$$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

で与えられます。

まず、$x(t) = e^t \cos t$ および $y(t) = e^t \sin t$ の導関数を計算します。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)$$

$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

\begin{align*} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &= \left(e^t (\cos t - \sin t)\right)^2 + \left(e^t (\sin t + \cos t)\right)^2 \\ &= e^{2t} (\cos^2 t - 2 \cos t \sin t + \sin^2 t) + e^{2t} (\sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t) \\ &= e^{2t} (1 - 2 \cos t \sin t) + e^{2t} (1 + 2 \sin t \cos t) \\ &= e^{2t} (1 - 2 \cos t \sin t + 1 + 2 \sin t \cos t) \\ &= 2e^{2t} \end{align*}

したがって、曲線の長さ $L$ は、

\begin{align*} L &= \int_0^1 \sqrt{2e^{2t}} dt \\ &= \int_0^1 \sqrt{2} e^t dt \\ &= \sqrt{2} \int_0^1 e^t dt \\ &= \sqrt{2} \left[ e^t \right]_0^1 \\ &= \sqrt{2} (e^1 - e^0) \\ &= \sqrt{2} (e - 1) \end{align*}

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}(e-1)$