与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$ を解く。

2. 解き方の手順

この微分方程式は同次形なので、$y = vx$ とおいて解く。

まず、$y = vx$ を$x$で微分すると $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ となる。これを元の微分方程式に代入する。

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x-vx}{x+vx} = \frac{1-v}{1+v}$

次に、$x \frac{dv}{dx}$ を分離する。

$x \frac{dv}{dx} = \frac{1-v}{1+v} - v = \frac{1-v-v-v^2}{1+v} = \frac{1-2v-v^2}{1+v}$

変数分離を行う。

$\frac{1+v}{1-2v-v^2}dv = \frac{dx}{x}$

両辺を積分する。左辺の積分は、$u = 1-2v-v^2$ と置換すると、$du = (-2-2v)dv = -2(1+v)dv$ となるので、

$\int \frac{1+v}{1-2v-v^2}dv = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = -\frac{1}{2} \ln |1-2v-v^2| + C_1$

右辺の積分は、

$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2$

したがって、

$-\frac{1}{2} \ln |1-2v-v^2| = \ln |x| + C$ （ここで$C = C_2 - C_1$）

$\ln |1-2v-v^2| = -2\ln |x| + C'$ （ここで$C' = -2C$）

$\ln |1-2v-v^2| + \ln |x^2| = C'$

$\ln |x^2(1-2v-v^2)| = C'$

$x^2(1-2v-v^2) = e^{C'} = C''$　（ここで、$C''$は定数）

$v = \frac{y}{x}$ を代入して、$y$と$x$の関係式を得る。

$x^2(1 - 2\frac{y}{x} - (\frac{y}{x})^2) = C''$

$x^2 - 2xy - y^2 = C''$

$x^2 - 2xy - y^2 = C$

3. 最終的な答え

$x^2 - 2xy - y^2 = C$ (Cは積分定数)