関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x + 4$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ の接線のうち、傾きが $3$ で、接点の $y$ 座標が正であるものを $l$ とする。$l$ の方程式を求め、曲線 $y = f(x)$ と $l$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求める。 (3) $t$ は $t > 0$ を満たす実数である。(2) のとき、$0 \le x \le t$ において曲線 $y = f(x)$ と $l$ および直線 $x = t$ で囲まれる部分の面積を $T$ とする。$S = T$ を満たす $t$ が、$\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ の範囲にただ1つ存在することを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x + 4$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ の接線のうち、傾きが $3$ で、接点の $y$ 座標が正であるものを $l$ とする。$l$ の方程式を求め、曲線 $y = f(x)$ と $l$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求める。

(3) $t$ は $t > 0$ を満たす実数である。(2) のとき、$0 \le x \le t$ において曲線 $y = f(x)$ と $l$ および直線 $x = t$ で囲まれる部分の面積を $T$ とする。$S = T$ を満たす $t$ が、$\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ の範囲にただ1つ存在することを示す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減と極値を求める。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = -x^2 - 2x + 3$

$f'(x) = -(x+3)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -3, 1$。

$f(x)$ の増減表は以下の通り。

| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |

| ---- | ---- | --- | ---- | --- | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ | 極大 | ↓ |

$f(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^3 - (-3)^2 + 3(-3) + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = -5$

$f(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 3(1) + 4 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = 6 - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$

よって、$x=-3$ で極小値 $-5$、$x=1$ で極大値 $\frac{17}{3}$ をとる。

(2) 接線 $l$ の方程式と面積 $S$ を求める。

$f'(x) = 3$ となる $x$ を求める。

$-x^2 - 2x + 3 = 3$

$-x^2 - 2x = 0$

$-x(x + 2) = 0$

$x = 0, -2$

$x=0$ のとき、$f(0) = 4$

$x=-2$ のとき、$f(-2) = -\frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 + 3(-2) + 4 = \frac{8}{3} - 4 - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3}$

接点の $y$ 座標が正であるのは $(0, 4)$ のとき。

したがって、接線 $l$ の方程式は $y = 3x + 4$

$y = f(x)$ と $y = 3x + 4$ の交点を求める。

$-\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x + 4 = 3x + 4$

$-\frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0$

$-\frac{1}{3}x^2(x + 3) = 0$

$x = 0, -3$

面積 $S$ は、

$S = \int_{-3}^{0} (f(x) - (3x + 4)) dx = \int_{-3}^{0} (-\frac{1}{3}x^3 - x^2) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-3}^{0} = 0 - (-\frac{1}{12}(-3)^4 - \frac{1}{3}(-3)^3) = 0 - (-\frac{81}{12} + \frac{27}{3}) = 0 - (-\frac{27}{4} + 9) = 0 - (\frac{-27 + 36}{4}) = -\frac{9}{4} = \frac{9}{4}$

(3) $S = T$ を満たす $t$ が $\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ の範囲にただ1つ存在することを示す。

$T = \int_{0}^{t} (3x+4 - f(x)) dx = \int_{0}^{t} (\frac{1}{3}x^3 + x^2) dx$

$T = \left[ \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{t} = \frac{1}{12}t^4 + \frac{1}{3}t^3$

$S = T$ より、$\frac{9}{4} = \frac{1}{12}t^4 + \frac{1}{3}t^3$

$\frac{1}{12}t^4 + \frac{1}{3}t^3 - \frac{9}{4} = 0$

$t^4 + 4t^3 - 27 = 0$

$g(t) = t^4 + 4t^3 - 27$ とすると、$g(t) = 0$ となる $t$ が $\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ にただ1つ存在することを示す。

$g(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^4 + 4(\frac{3}{2})^3 - 27 = \frac{81}{16} + 4(\frac{27}{8}) - 27 = \frac{81}{16} + \frac{27}{2} - 27 = \frac{81 + 216 - 432}{16} = \frac{-135}{16} < 0$

$g(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 + 4(\sqrt{3})^3 - 27 = 9 + 4(3\sqrt{3}) - 27 = 12\sqrt{3} - 18 = 6(2\sqrt{3} - 3) = 6(\sqrt{12} - \sqrt{9}) > 0$

$g(t)$ は連続関数であるため、中間値の定理より $\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ の範囲に少なくとも1つ $g(t)=0$ を満たす $t$ が存在する。

$g'(t) = 4t^3 + 12t^2 = 4t^2(t + 3)$

$t > 0$ より $g'(t) > 0$ なので、$g(t)$ は単調増加である。

したがって、$\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ の範囲に $S=T$ を満たす $t$ はただ1つ存在する。

3. 最終的な答え

(1) 極小値: $x = -3$ のとき $-5$, 極大値: $x = 1$ のとき $\frac{17}{3}$

(2) 接線 $l$: $y = 3x + 4$, 面積 $S = \frac{9}{4}$

(3) $S = T$ を満たす $t$ が $\frac{3}{2} < t < \sqrt{3}$ の範囲にただ1つ存在する (証明済み)。