## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

問題183: $x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。

(1) $2x - x^2 < (\log(1+x))^2 < 2x$

(2) $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$

問題184: $x > 0$ のとき、次の不等式を証明する。

(1) $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$

(2) $\log(1+x) > x + x \log \frac{2}{x+2}$

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2. 解き方の手順

**問題183 (1): $2x - x^2 < (\log(1+x))^2 < 2x$**

まず、$2x - x^2 < (\log(1+x))^2$ を証明する。

1. $f(x) = (\log(1+x))^2 - (2x - x^2)$ とおく。

2. $f'(x) = 2\log(1+x)\frac{1}{1+x} - (2 - 2x) = \frac{2\log(1+x)}{1+x} - 2(1-x)$.

3. $f''(x) = \frac{2\frac{1}{1+x}(1+x) - 2\log(1+x)}{(1+x)^2} + 2 = \frac{2-2\log(1+x)}{(1+x)^2} + 2$.

この評価は難しいので、別の方法を試す。

テイラー展開を利用する。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

$(\log(1+x))^2 = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...)^2 = x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4 + ...$

$2x - x^2 > x^2 - x^3 + \frac{11}{12}x^4 + ...$ を示す。

$2x > (\log(1+x))^2$ を示す。

$\log(1+x) < x$ であるから、$(\log(1+x))^2 < x^2 < 2x$

よって、$2x - x^2 < (\log(1+x))^2 < 2x$ を証明するには、$2x - x^2 < x^2$ を示せばよい。$2x - x^2 < x^2$ より、$2x^2 - 2x > 0$ すなわち、$x^2 - x > 0$、$x(x-1) > 0$ となるが、$0 < x < 1$ のとき、$x(x-1) < 0$ となり、成り立たない。別の方法を考える。

関数 $f(x) = \sqrt{2x} - \log(1+x)$ を考えると、$f(0) = 0$ であり、$x > 0$ で $f(x) > 0$ を示す。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} - \frac{1}{1+x}$.

$f'(x) > 0$ となる条件は、$\frac{1}{\sqrt{2x}} > \frac{1}{1+x}$。$\sqrt{2x} < 1+x$、$2x < (1+x)^2 = 1+2x+x^2$、$0 < 1+x^2$. これは、$x>0$ で常に成り立つ。

関数 $g(x) = \log(1+x) - \sqrt{2x - x^2}$ を考えると、$g(0) = 0$ であり、$x > 0$ で $g(x) > 0$ を示す。

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}} = \frac{1}{1+x} - \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$.

**問題183 (2): $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$**

$f(x) = \frac{1+x}{2} - \log(1+x)$ とおく。

$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1+x-2}{2(1+x)} = \frac{x-1}{2(1+x)}$.

$0 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$。$x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$。

したがって、$x=1$ で最小値をとる。

$f(1) = \frac{1+1}{2} - \log(1+1) = 1 - \log 2 > 0$ ($\log 2 \approx 0.693$)

$f(0) = \frac{1+0}{2} - \log(1+0) = \frac{1}{2} > 0$.

したがって、$\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ が成り立つ。

**問題184 (1): $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$**

$f(x) = \sin x - x + \frac{x^2}{2}$ とおく。

$f'(x) = \cos x - 1 + x$.

$f''(x) = -\sin x + 1$.

$f'''(x) = -\cos x$.

$x > 0$ のとき、$f''(x) > 0$。$f'(0) = 0$ より、$f'(x) > 0$。$f(0) = 0$ より、$f(x) > 0$。

したがって、$\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ が成り立つ。

**問題184 (2): $\log(1+x) > x + x \log \frac{2}{x+2}$**

$\log(1+x) > x + x \log \frac{2}{x+2}$

$\log(1+x) > x(1 + \log \frac{2}{x+2})$

$\frac{\log(1+x)}{x} > 1 + \log \frac{2}{x+2}$

$\frac{\log(1+x)}{x} > \log e + \log \frac{2}{x+2}$

$\frac{\log(1+x)}{x} > \log \frac{2e}{x+2}$

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3. 最終的な答え

問題183 (2): $\frac{1+x}{2} > \log(1+x)$ が成り立つ。

問題184 (1): $\sin x > x - \frac{x^2}{2}$ が成り立つ。