関数 $f(x) = x^3 - 3ax + b$ が与えられている。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(-1, f(-1))$ における接線を $l$ とし、$l$ は点 $B(3, 0)$ を通る。 (1) $l$ の傾きを $a$ を用いて表し、$b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $f(x)$ が極大値、極小値をもち、極大値と極小値の和が $2$ であるとき、$a, b$ の値を求めよ。 (3) (2) で求めた $a, b$ の値を用いて、曲線 $y = f(x)$ の $-1 \le x \le 0$ の部分と $l$ および直線 $y = b$ で囲まれた図形の面積を $S_1$ とし、曲線 $y = f(x)$ の $x \le 0$ の部分と直線 $y = b$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。$\frac{S_2}{S_1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3ax + b$ が与えられている。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(-1, f(-1))$ における接線を $l$ とし、$l$ は点 $B(3, 0)$ を通る。

(1) $l$ の傾きを $a$ を用いて表し、$b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $f(x)$ が極大値、極小値をもち、極大値と極小値の和が $2$ であるとき、$a, b$ の値を求めよ。

(3) (2) で求めた $a, b$ の値を用いて、曲線 $y = f(x)$ の $-1 \le x \le 0$ の部分と $l$ および直線 $y = b$ で囲まれた図形の面積を $S_1$ とし、曲線 $y = f(x)$ の $x \le 0$ の部分と直線 $y = b$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。$\frac{S_2}{S_1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(-1) = (-1)^3 - 3a(-1) + b = -1 + 3a + b$。

次に、$f'(x) = 3x^2 - 3a$ であるから、$l$ の傾きは $f'(-1) = 3(-1)^2 - 3a = 3 - 3a$。

$l$ の方程式は $y - (-1 + 3a + b) = (3 - 3a)(x - (-1))$ と表せる。

$l$ は点 $(3, 0)$ を通るので、$0 - (-1 + 3a + b) = (3 - 3a)(3 + 1)$。

$-1 + 3a + b = (3 - 3a)(-4) = -12 + 12a$ より、$b = 9a - 11$。

よって、$l$ の傾きは $3 - 3a$ であり、$b = 9a - 11$ である。

(2)

$f(x)$ が極大値と極小値を持つためには、$f'(x) = 3x^2 - 3a = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。つまり、$a > 0$ である。

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm \sqrt{a}$。極大値を持つのは $x = -\sqrt{a}$ のとき、極小値を持つのは $x = \sqrt{a}$ のときである。

極大値は $f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^3 - 3a(-\sqrt{a}) + b = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} + b = 2a\sqrt{a} + b$。

極小値は $f(\sqrt{a}) = (\sqrt{a})^3 - 3a(\sqrt{a}) + b = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} + b = -2a\sqrt{a} + b$。

極大値と極小値の和が $2$ なので、$(2a\sqrt{a} + b) + (-2a\sqrt{a} + b) = 2b = 2$ より、$b = 1$。

$b = 9a - 11$ より、$1 = 9a - 11$。よって、$9a = 12$、$a = \frac{4}{3}$。

したがって、$a = \frac{4}{3}$、$b = 1$。

(3)

$a = \frac{4}{3}$, $b = 1$ のとき、$f(x) = x^3 - 4x + 1$。また、$f'(x) = 3x^2 - 4$。

$l$ の傾きは $3 - 3a = 3 - 3 \cdot \frac{4}{3} = 3 - 4 = -1$。

$l$ の方程式は $y - (-1 + 3 \cdot \frac{4}{3} + 1) = -1 (x + 1)$ より、$y - 4 = -x - 1$、$y = -x + 3$。

$S_1$ は $-1 \le x \le 0$ で $f(x) = x^3 - 4x + 1$ と $l: y = -x + 3$ と $y = 1$ で囲まれた部分の面積である。

$x^3 - 4x + 1 = -x + 3$ とすると、$x^3 - 3x - 2 = 0$。$(x + 1)^2(x - 2) = 0$。$x = -1, 2$。

$x^3 - 4x + 1 = 1$ とすると、$x^3 - 4x = 0$、$x(x^2 - 4) = 0$、$x(x - 2)(x + 2) = 0$。$x = 0, 2, -2$。

$y = -x + 3$ と $y = 1$ の交点は $-x + 3 = 1$ より、$x = 2$。

$S_1 = \int_{-1}^{0} (-x + 3 - (x^3 - 4x + 1)) dx = \int_{-1}^{0} (-x^3 + 3x + 2) dx = [-\frac{x^4}{4} + \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2) = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3}{4}$。

$S_2$ は $x \le 0$ で $f(x) = x^3 - 4x + 1$ と $y = 1$ で囲まれた部分の面積である。

$S_2 = \int_{-2}^{0} (1 - (x^3 - 4x + 1)) dx = \int_{-2}^{0} (-x^3 + 4x) dx = [-\frac{x^4}{4} + 2x^2]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{16}{4} + 2(4)) = 4 - 8 = -4$。

面積なので絶対値を取り、$S_2 = |-4| = 4$。

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4}{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3}$。

3. 最終的な答え

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16}{3}$