与えられた微分方程式 $x\frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x\frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を $y$ の2乗で割ります。

$$\frac{1}{y^2}x\frac{dy}{dx} + \frac{1}{y} = \log x$$

次に、$z = \frac{1}{y}$ と置換すると、$\frac{dz}{dx} = -\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}$ となります。

これより、$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx} = -\frac{dz}{dx}$ なので、微分方程式は以下のように書き換えられます。

$$-x\frac{dz}{dx} + z = \log x$$

整理すると、

$$x\frac{dz}{dx} - z = -\log x$$

両辺を $x$ で割ると、

$$\frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z = -\frac{\log x}{x}$$

これは、1階線形微分方程式の形 $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ です。ここで、$P(x) = -\frac{1}{x}$、$Q(x) = -\frac{\log x}{x}$ となります。

積分因子は $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ です。

両辺に積分因子を掛けると、

$$\frac{1}{x}\frac{dz}{dx} - \frac{1}{x^2}z = -\frac{\log x}{x^2}$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{z}{x}) = -\frac{\log x}{x^2}$$

両辺を積分すると、

$$\int \frac{d}{dx}(\frac{z}{x}) dx = \int -\frac{\log x}{x^2} dx$$

$$\frac{z}{x} = -\int \frac{\log x}{x^2} dx$$

部分積分を用いて $\int \frac{\log x}{x^2} dx$ を計算します。

$u = \log x$、$dv = \frac{1}{x^2}dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx$、$v = -\frac{1}{x}$ となり、

$$\int \frac{\log x}{x^2} dx = (\log x)(-\frac{1}{x}) - \int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{x}) dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$$

したがって、

$$\frac{z}{x} = - (-\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C) = \frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} - C$$

$$z = \log x + 1 - Cx$$

$z = \frac{1}{y}$ より、

$$\frac{1}{y} = \log x + 1 - Cx$$

$$y = \frac{1}{\log x + 1 - Cx}$$

3. 最終的な答え

$$y = \frac{1}{\log x + 1 - Cx}$$