2重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1 + x^2 + y^2) dxdy$ の値を求めよ。ただし、$D_2 = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 1\}$ である。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1 + x^2 + y^2) dxdy$ の値を求めよ。ただし、$D_2 = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 1\}$ である。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D_2$ が円盤であるため、極座標変換を行う。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$dxdy = rdrd\theta$ である。

積分領域 $D_2$ は $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$ となる。

したがって、積分は以下のように変換される。

$\iint_{D_2} 2\log(1 + x^2 + y^2) dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 2\log(1 + r^2) r dr d\theta$

まず、内側の積分を計算する。

$\int_{0}^{1} 2r\log(1 + r^2) dr$

$u = 1 + r^2$ とおくと、$du = 2r dr$ となる。$r = 0$ のとき $u = 1$, $r = 1$ のとき $u = 2$ である。

したがって、

$\int_{0}^{1} 2r\log(1 + r^2) dr = \int_{1}^{2} \log u du$

部分積分を行う。$\int \log u du = u\log u - u + C$ であるから、

$\int_{1}^{2} \log u du = [u\log u - u]_{1}^{2} = (2\log 2 - 2) - (1\log 1 - 1) = 2\log 2 - 2 - (0 - 1) = 2\log 2 - 1$

次に、外側の積分を計算する。

$\int_{0}^{2\pi} (2\log 2 - 1) d\theta = (2\log 2 - 1) \int_{0}^{2\pi} d\theta = (2\log 2 - 1) [ \theta ]_{0}^{2\pi} = (2\log 2 - 1) (2\pi - 0) = 2\pi(2\log 2 - 1)$

3. 最終的な答え

$2\pi(2\log 2 - 1)$