与えられた積分を計算します。 積分は $l = \int_0^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)} \, d\theta$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $l = \int_0^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)} \, d\theta$ です。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos\theta$ を半角の公式を用いて書き換えます。

$1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$

したがって、積分は次のようになります。

$l = \int_0^{2\pi} \sqrt{2 \cdot 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \, d\theta$

$l = \int_0^{2\pi} \sqrt{4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \, d\theta$

$l = \int_0^{2\pi} 2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right| \, d\theta$

区間 $[0, 2\pi]$ で $\sin(\theta/2)$ は常に非負なので絶対値を外せます。

$l = 2 \int_0^{2\pi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \, d\theta$

置換積分を行います。$u = \frac{\theta}{2}$ とすると、$du = \frac{1}{2} d\theta$ より $d\theta = 2 \, du$ です。$\theta$ の積分範囲は $0$ から $2\pi$ なので、$u$ の積分範囲は $0$ から $\pi$ になります。

$l = 2 \int_0^{\pi} \sin(u) \cdot 2 \, du$

$l = 4 \int_0^{\pi} \sin(u) \, du$

$\sin(u)$ の積分は $-\cos(u)$ なので、

$l = 4 [-\cos(u)]_0^{\pi}$

$l = 4 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))]$

$l = 4 [-(-1) - (-1)]$

$l = 4 [1 + 1]$

$l = 4 \cdot 2$

$l = 8$

3. 最終的な答え

$l = 8$