$a > 0$ とする。サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1-\cos\theta)$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1-\cos\theta)$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

サイクロイドと $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は、積分を用いて求めることができます。

まず、$S = \int y dx$ であり、$x$ と $y$ はパラメータ $\theta$ で表されているので、

$dx = \frac{dx}{d\theta} d\theta$ を用いて積分変数を $\theta$ に変換します。

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} a(\theta - \sin\theta) = a(1 - \cos\theta)$ です。

$\theta$ の積分範囲は、$x$ が $0$ から $2\pi a$ まで変化する時に対応する $\theta$ の範囲で、$0 \le \theta \le 2\pi$ です。

したがって、

$S = \int_0^{2\pi} a(1-\cos\theta) a(1-\cos\theta) d\theta = a^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos\theta)^2 d\theta$

$= a^2 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ であるから、

$S = a^2 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos\theta + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}) d\theta = a^2 \int_0^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos(2\theta)) d\theta$

$= a^2 [\frac{3}{2}\theta - 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta)]_0^{2\pi} = a^2 (\frac{3}{2}(2\pi) - 2\sin(2\pi) + \frac{1}{4}\sin(4\pi) - (0 - 2\sin(0) + \frac{1}{4}\sin(0)))$

$= a^2 (\frac{3}{2}(2\pi)) = 3\pi a^2$

3. 最終的な答え

$3\pi a^2$