次の関数のグラフの概形をかけ。 (1) $y=(1-x^2)^3$ (3) $y=xe^x$

1. 問題の内容

次の関数のグラフの概形をかけ。

(1) $y=(1-x^2)^3$

(3) $y=xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = (1-x^2)^3$

* 定義域：実数全体

* 対称性：$y(-x) = (1-(-x)^2)^3 = (1-x^2)^3 = y(x)$であるから、$y$は偶関数であり、$y$軸に関して対称である。

* $x$切片：$y=0$とすると、$(1-x^2)^3 = 0$より、$1-x^2 = 0$、$x^2 = 1$、$x = \pm 1$。よって、$x$切片は$(1,0)$と$(-1,0)$。

* $y$切片：$x=0$とすると、$y = (1-0^2)^3 = 1$。よって、$y$切片は$(0,1)$。

* 導関数：

$y' = 3(1-x^2)^2(-2x) = -6x(1-x^2)^2$

$y'=0$とすると、$-6x(1-x^2)^2 = 0$、$x=0, \pm 1$。

* 増減表：

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|------|-------|-------|-------|------|-------|------|-------|

| y' | + | 0 | + | 0 | - | 0 | - |

| y | ↑ | 0 | ↑ | 1 | ↓ | 0 | ↓ |

* 極値：$x=0$のとき、極大値$y=1$。$x=\pm 1$のとき、極値ではない。

* グラフの概形：$y$軸に関して対称で、$x=\pm 1$で$x$軸と接する。

(3) $y = xe^x$

* 定義域：実数全体

* 対称性：$y(-x) = -xe^{-x}$であり、$y(-x) \neq y(x)$かつ$y(-x) \neq -y(x)$であるから、$y$は偶関数でも奇関数でもない。

* $x$切片：$y=0$とすると、$xe^x = 0$より、$x=0$。よって、$x$切片は$(0,0)$。

* $y$切片：$x=0$とすると、$y = 0e^0 = 0$。よって、$y$切片は$(0,0)$。

* 導関数：

$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y'=0$とすると、$(x+1)e^x = 0$、$x=-1$。

* 増減表：

| x | ... | -1 | ... |

|------|-------|-------|-------|

| y' | - | 0 | + |

| y | ↓ | -1/e | ↑ |

* 極値：$x=-1$のとき、極小値$y = -e^{-1} = -1/e$。

* 2次導関数：

$y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$y''=0$とすると、$(x+2)e^x = 0$、$x=-2$。

* 変曲点：$x=-2$のとき、$y = -2e^{-2} = -2/e^2$。

* グラフの概形：$x \to -\infty$のとき、$y \to 0$，$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$。

3. 最終的な答え

(1) $y=(1-x^2)^3$のグラフの概形：$y$軸に関して対称、$x$切片は$(\pm 1, 0)$、$y$切片は$(0, 1)$、$x=0$で極大値$1$。

(3) $y=xe^x$のグラフの概形：$x \to -\infty$のとき、$y \to 0$、$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$、$x=-1$で極小値$-1/e$、変曲点は$(-2, -2/e^2)$。