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$xy$平面上の曲線$C$が、$x=2\cos{2\theta}$, $y=2\cos{3\theta}$ ($0 \le \theta \le \pi$)で表されるとき、以下の問いに答える。 (1) $t=\cos{\theta}$とおいて、$x$と$y$を$t$の式で表せ。 (2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$において、$y$を$x$の式で表せ。また、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$において、$y$を$x$の式で表せ。 (3) 曲線$C$の概形をかけ。

解析学媒介変数表示曲線三角関数グラフ
2025/6/26

1. 問題の内容

xyxy平面上の曲線CCが、x=2cos⁡2θx=2\cos{2\theta}, y=2cos⁡3θy=2\cos{3\theta} (0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi)で表されるとき、以下の問いに答える。
(1) t=cos⁡θt=\cos{\theta}とおいて、xxとyyをttの式で表せ。
(2) 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}において、yyをxxの式で表せ。また、π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piにおいて、yyをxxの式で表せ。
(3) 曲線CCの概形をかけ。

2. 解き方の手順

(1) t=cos⁡θt = \cos{\theta}とおく。
x=2cos⁡2θ=2(2cos⁡2θ−1)=2(2t2−1)=4t2−2x = 2\cos{2\theta} = 2(2\cos^2{\theta} - 1) = 2(2t^2 - 1) = 4t^2 - 2
y=2cos⁡3θ=2(4cos⁡3θ−3cos⁡θ)=2(4t3−3t)=8t3−6ty = 2\cos{3\theta} = 2(4\cos^3{\theta} - 3\cos{\theta}) = 2(4t^3 - 3t) = 8t^3 - 6t
(2) 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}のとき、cos⁡θ≥0\cos{\theta} \ge 0より、t≥0t \ge 0である。
また、x=4t2−2x = 4t^2 - 2より、4t2=x+24t^2 = x + 2なので、t2=x+24t^2 = \frac{x+2}{4}となる。よって、t=x+24=x+22t = \sqrt{\frac{x+2}{4}} = \frac{\sqrt{x+2}}{2}となる。
y=8t3−6t=8(x+22)3−6(x+22)=8(x+2)x+28−3x+2=(x+2)x+2−3x+2=(x−1)x+2y = 8t^3 - 6t = 8(\frac{\sqrt{x+2}}{2})^3 - 6(\frac{\sqrt{x+2}}{2}) = 8 \frac{(x+2)\sqrt{x+2}}{8} - 3\sqrt{x+2} = (x+2)\sqrt{x+2} - 3\sqrt{x+2} = (x-1)\sqrt{x+2}
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piのとき、cos⁡θ≤0\cos{\theta} \le 0より、t≤0t \le 0である。
また、x=4t2−2x = 4t^2 - 2より、4t2=x+24t^2 = x + 2なので、t2=x+24t^2 = \frac{x+2}{4}となる。よって、t=−x+24=−x+22t = -\sqrt{\frac{x+2}{4}} = -\frac{\sqrt{x+2}}{2}となる。
y=8t3−6t=8(−x+22)3−6(−x+22)=8−(x+2)x+28+3x+2=−(x+2)x+2+3x+2=−(x−1)x+2y = 8t^3 - 6t = 8(-\frac{\sqrt{x+2}}{2})^3 - 6(-\frac{\sqrt{x+2}}{2}) = 8 \frac{-(x+2)\sqrt{x+2}}{8} + 3\sqrt{x+2} = -(x+2)\sqrt{x+2} + 3\sqrt{x+2} = -(x-1)\sqrt{x+2}
(3) 曲線CCの概形は、(2)の結果を考慮すると、xxの値の範囲は、0≤θ≤π0 \le \theta \le \piより、−2≤x≤2-2 \le x \le 2である。
0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}のとき、x=2cos⁡2θx=2\cos{2\theta}より、0≤2θ≤π0 \le 2\theta \le \piとなり、−2≤x≤2-2 \le x \le 2.
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piのとき、π≤2θ≤2π\pi \le 2\theta \le 2\piとなり、−2≤x≤2-2 \le x \le 2.
0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}のとき、y=(x−1)x+2y=(x-1)\sqrt{x+2}
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piのとき、y=−(x−1)x+2y=-(x-1)\sqrt{x+2}

3. 最終的な答え

(1) x=4t2−2x = 4t^2 - 2, y=8t3−6ty = 8t^3 - 6t
(2) 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}のとき、y=(x−1)x+2y = (x-1)\sqrt{x+2}
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piのとき、y=−(x−1)x+2y = -(x-1)\sqrt{x+2}
(3) 曲線CCの概形は省略

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