定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。

はい、承知しました。画像の練習問題4.3の定積分を求めます。

**(1)の問題**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。これは逆三角関数 $\arcsin(x)$ の微分であることから、

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) + C$$

となります。したがって、定積分は

$$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$$

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ であるから、

$$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$

**(2)の問題**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{2x-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数を平方完成します。

$2x - x^2 = 1 - (x^2 - 2x + 1) = 1 - (x-1)^2$

したがって、積分は $\int_{0}^{1} \sqrt{1-(x-1)^2} dx$ となります。

$x-1 = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

$x=0$ のとき $\sin\theta = -1$ なので $\theta = -\frac{\pi}{2}$ であり、$x=1$ のとき $\sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$ です。

積分は、

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{1 - \sin^2\theta} \cos\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2\theta d\theta$$

$$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$$

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \frac{1}{2} \left[ (0 + 0) - \left( -\frac{\pi}{2} + 0 \right) \right] = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$

**(3)の問題**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{dx}{x^2+9} = \int \frac{dx}{x^2+3^2}$ を計算します。

これは $\frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)$ の形になるので、$a=3$ として

$\int \frac{dx}{x^2+9} = \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C$ となります。

定積分は

$$\int_{-3}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9} = \left[ \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x}{3}\right) \right]_{-3}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) - \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{-3}{3}\right)$$

$$\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$

$$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$$

$$\frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{6} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{2\pi+3\pi}{12} \right) = \frac{5\pi}{36}$$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{36}$

**(4)の問題**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = \tan\theta$ と置換すると、$dx = \sec^2\theta d\theta$ となります。

$x=0$ のとき $\theta = 0$ であり、$x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2\theta}{(1+\tan^2\theta)^2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2\theta}{(\sec^2\theta)^2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sec^2\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta d\theta$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - (0+0) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$

**(5)の問題**

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = 2\sinh u$ と置換します。すると、$dx = 2\cosh u du$ となります。

$x=0$ のとき $\sinh u = 0$ なので $u = 0$ であり、$x=2$ のとき $\sinh u = 1$ なので $u = \sinh^{-1}(1)$ となります。

$$\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \frac{2\cosh u}{\sqrt{4\sinh^2 u + 4}} du = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \frac{2\cosh u}{2\sqrt{\sinh^2 u + 1}} du = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \frac{\cosh u}{\cosh u} du = \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} 1 du$$

$$= [u]_{0}^{\sinh^{-1}(1)} = \sinh^{-1}(1) - 0 = \sinh^{-1}(1)$$

$\sinh u = 1$ より、$\frac{e^u - e^{-u}}{2} = 1$

$e^u - e^{-u} = 2$

$e^{2u} - 2e^u - 1 = 0$

$e^u = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$e^u > 0$ なので $e^u = 1+\sqrt{2}$ となります。

$u = \ln(1+\sqrt{2})$

したがって、 $\sinh^{-1}(1) = \ln(1+\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$\ln(1+\sqrt{2})$