平均値の定理を用いて、以下の不等式を証明する問題です。 (1) $a < b$ のとき、$e^a(b-a) < e^b - e^a < e^b(b-a)$ (2) $0 < a < b$ のとき、$1 - \frac{a}{b} < \log\frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$ (3) $a > 0$ のとき、$\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$

1. 問題の内容

平均値の定理を用いて、以下の不等式を証明する問題です。

(1) $a < b$ のとき、$e^a(b-a) < e^b - e^a < e^b(b-a)$

(2) $0 < a < b$ のとき、$1 - \frac{a}{b} < \log\frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$

(3) $a > 0$ のとき、$\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = e^x$ を区間 $[a, b]$ で考える。平均値の定理より、ある $c \in (a, b)$ が存在し、

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

つまり、

$$e^c = \frac{e^b - e^a}{b-a}$$

$a < c < b$ より、$e^a < e^c < e^b$ であるから、

$$e^a < \frac{e^b - e^a}{b-a} < e^b$$

各辺に $(b-a)$ を掛けると、$a < b$ より $(b-a) > 0$ なので、不等号の向きは変わらず、

$$e^a(b-a) < e^b - e^a < e^b(b-a)$$

が成り立つ。

(2) 関数 $f(x) = \log x$ を区間 $[a, b]$ で考える。平均値の定理より、ある $c \in (a, b)$ が存在し、

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$

つまり、

$$\frac{1}{c} = \frac{\log b - \log a}{b-a} = \frac{\log \frac{b}{a}}{b-a}$$

$a < c < b$ より、$\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$ であるから、

$$\frac{1}{b} < \frac{\log \frac{b}{a}}{b-a} < \frac{1}{a}$$

各辺に $(b-a)$ を掛けると、$a < b$ より $(b-a) > 0$ なので、不等号の向きは変わらず、

$$\frac{b-a}{b} < \log \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$$

$$1 - \frac{a}{b} < \log \frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$$

が成り立つ。

(3) 関数 $f(x) = \log x$ を区間 $[a+1, a]$ で考える。間違い。

関数 $f(x) = \log(1+x)$ を区間 $[0, a]$ で考える。平均値の定理より、ある $c \in (0, a)$ が存在し、

$$f'(c) = \frac{f(a) - f(0)}{a - 0}$$

つまり、

$$\frac{1}{1+c} = \frac{\log(1+a) - \log(1)}{a} = \frac{\log(1+a)}{a}$$

$0 < c < a$ より、$1 < 1+c < 1+a$ であるから、$\frac{1}{1+a} < \frac{1}{1+c} < 1$

$$\frac{1}{1+a} < \frac{\log(1+a)}{a} < 1$$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $e^a(b-a) < e^b - e^a < e^b(b-a)$

(2) $1 - \frac{a}{b} < \log\frac{b}{a} < \frac{b}{a} - 1$

(3) $\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$