関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、以下の2つの極限値を $f'(a)$ を用いて表す問題です。 (1) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-4h)-f(a)}{h}$ (2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+2h)}{h}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき、以下の2つの極限値を $f'(a)$ を用いて表す問題です。

(1) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-4h)-f(a)}{h}$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+2h)}{h}$

2. 解き方の手順

(1) の場合：

微分係数の定義 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ を利用できるように変形します。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a-4h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+(-4h))-f(a)}{h}$

ここで、$-4h$ を $k$ とおくと、$h = -\frac{k}{4}$ となり、$h \to 0$ のとき $k \to 0$ となります。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a-4h)-f(a)}{h} = \lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{-\frac{k}{4}} = -4 \lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{k} = -4f'(a)$

(2) の場合：

同様に、微分係数の定義を利用できるように変形します。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a) - (f(a+2h)-f(a))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} 3\frac{f(a+3h)-f(a)}{3h} - \lim_{h \to 0} 2\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}$

ここで、$3h = k_1$ と $2h=k_2$ とおくと、

$= 3\lim_{k_1 \to 0} \frac{f(a+k_1)-f(a)}{k_1} - 2\lim_{k_2 \to 0} \frac{f(a+k_2)-f(a)}{k_2}$

$= 3f'(a) - 2f'(a) = f'(a)$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-4h)-f(a)}{h} = -4f'(a)$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+2h)}{h} = f'(a)$