SENSEI AI
About App

与えられた積分 $\int 5\cos^2 t \sin t \, dt$ を計算します。

解析学積分置換積分三角関数
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた積分
∫5cos⁡2tsin⁡t dt\int 5\cos^2 t \sin t \, dt
を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分法を用います。
u=cos⁡tu = \cos t と置くと、
dudt=−sin⁡t\frac{du}{dt} = -\sin t
したがって、
du=−sin⁡t dtdu = -\sin t \, dt
− du=sin⁡t dt-\,du = \sin t \, dt
これを用いて積分を書き換えると、
∫5cos⁡2tsin⁡t dt=∫5u2(−du)=−5∫u2 du\int 5\cos^2 t \sin t \, dt = \int 5u^2 (-du) = -5\int u^2 \, du
u2u^2 の積分は、
∫u2 du=u33+C\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C
したがって、
−5∫u2 du=−5⋅u33+C=−53u3+C-5\int u^2 \, du = -5 \cdot \frac{u^3}{3} + C = -\frac{5}{3} u^3 + C
最後に、uu を cos⁡t\cos t に戻すと、
−53u3+C=−53cos⁡3t+C-\frac{5}{3} u^3 + C = -\frac{5}{3} \cos^3 t + C

3. 最終的な答え

∫5cos⁡2tsin⁡t dt=−53cos⁡3t+C\int 5\cos^2 t \sin t \, dt = -\frac{5}{3} \cos^3 t + C

「解析学」の関連問題

与えられた微分方程式 $x\frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

微分方程式線形微分方程式積分因子部分積分
2025/6/26

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$ を解く。

微分方程式同次形変数分離
2025/6/26

問題は、次の無限級数 $S$ の値を求めることです。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}} + \dots$

無限級数等比級数級数の和
2025/6/26

## 1. 問題の内容

極限ロピタルの定理微分対数関数
2025/6/26

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算する。

定積分積分計算累乗根
2025/6/26

曲線 $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ ($0 \le t \le 1$) の長さを求める問題です。

曲線長さ積分導関数
2025/6/26

次の関数のグラフの概形をかけ。 (1) $y=(1-x^2)^3$ (3) $y=xe^x$

関数のグラフ微分増減極値変曲点偶関数指数関数多項式
2025/6/26

2重積分 $\iint_{D_2} 2\log(1 + x^2 + y^2) dxdy$ の値を求めよ。ただし、$D_2 = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 1\}$ で...

多変数積分重積分極座標変換部分積分対数関数
2025/6/26

$a > 0$ とする。サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1-\cos\theta)$ $(0 \le \theta \le 2\pi)$ と $...

積分サイクロイド面積パラメータ表示
2025/6/26

与えられた積分を計算します。 積分は $l = \int_0^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)} \, d\theta$ です。

積分三角関数置換積分半角の公式
2025/6/26