与えられた数列の極限値を求める問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n) $$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n)$$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず$\sqrt{n^2 - 5} - n$に$\sqrt{n^2 - 5} + n$を掛けて割るという操作を行います。これにより、根号を解消し、式を扱いやすくします。

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 - 5} - n)(\sqrt{n^2 - 5} + n)}{\sqrt{n^2 - 5} + n}$$

分子を展開すると、

$$(\sqrt{n^2 - 5} - n)(\sqrt{n^2 - 5} + n) = (n^2 - 5) - n^2 = -5$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{-5}{\sqrt{n^2 - 5} + n}$$

次に、分母を$n$で割ります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n\sqrt{1 - \frac{5}{n^2}} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n(\sqrt{1 - \frac{5}{n^2}} + 1)}$$

$n \to \infty$のとき、$\frac{5}{n^2} \to 0$であるので、$\sqrt{1 - \frac{5}{n^2}} \to 1$となります。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n(\sqrt{1 - \frac{5}{n^2}} + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{n(1 + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{2n}$$

$n \to \infty$のとき、$\frac{-5}{2n} \to 0$となります。

3. 最終的な答え

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 5} - n) = 0$$