この問題は、微分積分学の宿題で、3つの問題から構成されています。 * 問題1：曲線 $y = \frac{1}{4}e^{-4x}$ 上の点に関する接線と法線を求める問題。 * 問題2：2つの極限を求める問題。ロピタルの定理の適用可能性も考慮する必要があります。 * 問題3：数学的帰納法を用いて、任意の自然数 $n$ に対して $\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0$ となることを証明する問題。

はい、承知いたしました。以下に解答を示します。

1. 問題の内容

この問題は、微分積分学の宿題で、3つの問題から構成されています。

* 問題1：曲線 $y = \frac{1}{4}e^{-4x}$ 上の点に関する接線と法線を求める問題。

* 問題2：2つの極限を求める問題。ロピタルの定理の適用可能性も考慮する必要があります。

* 問題3：数学的帰納法を用いて、任意の自然数 $n$ に対して $\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0$ となることを証明する問題。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 点AにおけるCの接線の方程式を求めます。

点Aのx座標は $\frac{1}{2}$ なので、$y$座標を計算します。

$y = \frac{1}{4}e^{-4(\frac{1}{2})} = \frac{1}{4}e^{-2}$. よって、点Aは $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}e^{-2})$ となります。

次に、導関数を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} (-4) e^{-4x} = -e^{-4x}$.

点Aにおける傾きは、

$\frac{dy}{dx}|_{x=\frac{1}{2}} = -e^{-4(\frac{1}{2})} = -e^{-2}$.

したがって、接線の方程式は、

$y - \frac{1}{4}e^{-2} = -e^{-2} (x - \frac{1}{2})$

$y = -e^{-2}x + \frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{4}e^{-2}$

$y = -e^{-2}x + \frac{3}{4}e^{-2}$.

(2) 点AにおけるCの法線の方程式を求めます。

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、$\frac{1}{e^{-2}} = e^2$ です。

したがって、法線の方程式は、

$y - \frac{1}{4}e^{-2} = e^2 (x - \frac{1}{2})$

$y = e^2 x - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{4}e^{-2}$.

(3) Cの接線で、傾きが-3である直線の方程式を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -e^{-4x} = -3$ となる $x$ を求めます。

$e^{-4x} = 3$

$-4x = \ln 3$

$x = -\frac{1}{4}\ln 3$

このときの $y$ 座標は、

$y = \frac{1}{4} e^{-4(-\frac{1}{4}\ln 3)} = \frac{1}{4} e^{\ln 3} = \frac{3}{4}$.

したがって、接線の方程式は、

$y - \frac{3}{4} = -3(x + \frac{1}{4}\ln 3)$

$y = -3x - \frac{3}{4}\ln 3 + \frac{3}{4}$.

**問題2**

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{x^2}$ を求めます。

$x \to 0$ のとき、$\cos 2x \to 1$ であり、$x^2 \to 0$ であるため、$\frac{\cos 2x}{x^2}$ は $\frac{1}{0}$ の形になり、極限は発散します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{x^2} = \infty$

(2) $\lim_{t \to +0} (t^2 + 5t + 1)^{\frac{1}{t}}$ を求めます。

$y = (t^2 + 5t + 1)^{\frac{1}{t}}$ とおくと、

$\ln y = \frac{1}{t} \ln (t^2 + 5t + 1)$

$\lim_{t \to +0} \ln y = \lim_{t \to +0} \frac{\ln (t^2 + 5t + 1)}{t}$.

$t \to 0$ のとき、$\ln (t^2 + 5t + 1) \to \ln 1 = 0$ であり、$t \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{t \to +0} \frac{\frac{2t+5}{t^2+5t+1}}{1} = \lim_{t \to +0} \frac{2t+5}{t^2+5t+1} = \frac{5}{1} = 5$.

したがって、$\lim_{t \to +0} \ln y = 5$.

よって、$\lim_{t \to +0} y = e^5$.

**問題3**

$I_n = \lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ を数学的帰納法で証明します。

(1) $n = 0$ のとき、$I_0 = \lim_{x \to \infty} x^0 e^{-x} = \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ なので成立します。

(2) $n = k$ のとき、$I_k = \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x} = 0$ が成立すると仮定します。

(3) $n = k+1$ のとき、$I_{k+1} = \lim_{x \to \infty} x^{k+1} e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{k+1}}{e^x}$ を考えます。

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$I_{k+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(k+1)x^k}{e^x} = (k+1) \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = (k+1) I_k$.

帰納法の仮定より、$I_k = 0$ なので、$I_{k+1} = (k+1) \cdot 0 = 0$ となり、$n = k+1$ のときも成立します。

したがって、数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ に対して $\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0$ が成立します。

3. 最終的な答え

**問題1**

(1) 接線の方程式：$y = -e^{-2}x + \frac{3}{4}e^{-2}$

(2) 法線の方程式：$y = e^2 x - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{4}e^{-2}$

(3) 傾きが-3の接線の方程式：$y = -3x - \frac{3}{4}\ln 3 + \frac{3}{4}$

**問題2**

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{x^2} = \infty$

(2) $\lim_{t \to +0} (t^2 + 5t + 1)^{\frac{1}{t}} = e^5$

**問題3**

任意の自然数 $n$ に対して $\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} = 0$