問題191の(1)と(2)の関数の漸近線を求める問題です。 (1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ (2) $y = 2x + \sqrt{x^2-1}$

1. 問題の内容

問題191の(1)と(2)の関数の漸近線を求める問題です。

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

(2) $y = 2x + \sqrt{x^2-1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ について

* x → +∞ のとき:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = 1$

* x → -∞ のとき:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = -1$

したがって、漸近線は $y=1$ と $y=-1$。

(2) $y = 2x + \sqrt{x^2-1}$ について

* 定義域は $x^2 - 1 \geq 0$ より、$x \leq -1$ または $x \geq 1$

* x → +∞ のとき:

$\lim_{x \to +\infty} (2x + \sqrt{x^2-1}) = \lim_{x \to +\infty} (2x + |x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to +\infty} (2x + x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to +\infty} x(2 + \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = +\infty$

$y - (ax+b)$ の極限を調べ、$a, b$を求める

$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + \sqrt{x^2-1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (2 + \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = 2+1 = 3$

$b = \lim_{x \to +\infty} (2x + \sqrt{x^2-1} - 3x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2-1} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2-1} - x)(\sqrt{x^2-1} + x)}{\sqrt{x^2-1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1 - x^2}{\sqrt{x^2-1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1} + x} = 0$

よって $y = 3x$

* x → -∞ のとき:

$\lim_{x \to -\infty} (2x + \sqrt{x^2-1}) = \lim_{x \to -\infty} (2x + |x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to -\infty} (2x - x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to -\infty} x(2 - \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = -\infty$

$a = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + \sqrt{x^2-1}}{x} = \lim_{x \to -\infty} (2 + \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}) = \lim_{x \to -\infty} (2 - \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}) = 2-1 = 1$

$b = \lim_{x \to -\infty} (2x + \sqrt{x^2-1} - x) = \lim_{x \to -\infty} (x + \sqrt{x^2-1}) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1})}{x - \sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - (x^2-1)}{x - \sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x - |x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x - (-x)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x + x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x(1 + \sqrt{1-\frac{1}{x^2}})} = 0$

よって $y = x$

3. 最終的な答え

(1) $y = 1$, $y = -1$

(2) $y = 3x$, $y = x$