放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+n$ が点 $P(t, t^2)$ で接するとき、$m$ と $n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+n$ が点 $P(t, t^2)$ で接するとき、$m$ と $n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = 2x$

点 $P(t, t^2)$ における接線の傾きは $x=t$ を代入して $2t$ となります。

したがって、接線の傾きは $m = 2t$ です。

また、接線は点 $P(t, t^2)$ を通るので、$y=mx+n$ に代入すると、

$t^2 = mt + n$

$m = 2t$ なので、

$t^2 = 2t^2 + n$

$n = -t^2$

したがって、接線の方程式は $y = 2tx - t^2$ となります。

放物線と直線が接するということは、$x^2 = 2tx - t^2$ が重解を持つということです。

$x^2 - 2tx + t^2 = 0$

$(x-t)^2 = 0$

これは $x=t$ で重解を持つので、接しているという条件を満たしています。

ここで、$y=mx+n$ の $n$ は、$y$ 切片を表しています。

図から、$n < 0$ であることがわかります。

$n = -t^2 < 0$ より、$t \neq 0$ であることがわかります。

図から、$t > 0$ であることもわかります。

もし $t=0$ であれば、$y=x^2$ の原点における接線は、$y=0$ となり、$y=mx+n$ の $n=0$ となるからです。

しかし、$y=mx+n$ のグラフは、$y$ 切片が負の値を持っています。

直線が放物線と接するので、接点を求めます。

$x^2 = mx+n$

$x^2 - mx - n = 0$

判別式 $D = m^2 - 4(1)(-n) = m^2 + 4n = 0$

$m^2 = -4n$

$m = 2t$ および $n = -t^2$ を代入すると、

$(2t)^2 = -4(-t^2)$

$4t^2 = 4t^2$

これは常に成り立つので、接しているという条件を満たします。

$m = 2t$

$n = -t^2$

図から、$t=0$ではないため、$t$は確定しません。

図から$t=1$と予想すると、

$m = 2$

$n = -1$

このとき、接線は$y=2x-1$となります。

3. 最終的な答え

$m = 2t$

$n = -t^2$

あるいは $t=1$と仮定すると

$m = 2$

$n = -1$