2重積分 $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を計算する問題です。積分領域 $D_2$ は、$\pi \leq x^2 + y^2 \leq 2\pi$、 $x \geq 0$、 $y \leq 0$ で定義されます。つまり、中心が原点である半径 $\sqrt{\pi}$ の円と半径 $\sqrt{2\pi}$ の円の間にある領域のうち、第4象限の部分です。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を計算する問題です。積分領域 $D_2$ は、$\pi \leq x^2 + y^2 \leq 2\pi$、 $x \geq 0$、 $y \leq 0$ で定義されます。つまり、中心が原点である半径 $\sqrt{\pi}$ の円と半径 $\sqrt{2\pi}$ の円の間にある領域のうち、第4象限の部分です。

2. 解き方の手順

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$、 $y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。積分領域は $\pi \leq r^2 \leq 2\pi$、 $x \geq 0$、 $y \leq 0$ なので、$\sqrt{\pi} \leq r \leq \sqrt{2\pi}$、$\frac{3\pi}{2} \leq \theta \leq 2\pi$ となります。また、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ です。したがって、2重積分は次のようになります。

$\iint_{D_2} \sin^2(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) \, r \, dr \, d\theta$

まず、内側の積分を計算します。$u = r^2$ とおくと、$du = 2r \, dr$ となるので、$r \, dr = \frac{1}{2} du$ です。$r = \sqrt{\pi}$ のとき $u = \pi$、$r = \sqrt{2\pi}$ のとき $u = 2\pi$ となります。

$\int_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}} \sin^2(r^2) \, r \, dr = \frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \sin^2(u) \, du$

$\sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2}$ なので、

$\frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \sin^2(u) \, du = \frac{1}{2} \int_{\pi}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2u)}{2} \, du = \frac{1}{4} \int_{\pi}^{2\pi} (1 - \cos(2u)) \, du$

$= \frac{1}{4} \left[ u - \frac{1}{2}\sin(2u) \right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{4} \left[ (2\pi - \frac{1}{2}\sin(4\pi)) - (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) \right] = \frac{1}{4} (2\pi - \pi) = \frac{\pi}{4}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \frac{\pi}{4} \, d\theta = \frac{\pi}{4} \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} d\theta = \frac{\pi}{4} \left[ \theta \right]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = \frac{\pi}{4} \left( 2\pi - \frac{3\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{8}$