放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+n$ が点 $P(t, t^2)$ で接するとき、$m$ と $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+n$ が点 $P(t, t^2)$ で接するとき、$m$ と $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線を考える。

まず、$y = x^2$ を微分すると、$y' = 2x$ となる。

したがって、点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。

接線の式は、

$y - t^2 = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2$

$y = 2tx - t^2$

この接線が $y = mx + n$ と一致するので、

$m = 2t$

$n = -t^2$

問題文には $t$ の値が与えられていないため、$m$ と $n$ は $t$ を用いて表される。

ただし、図から $t > 0$ であることがわかる。

3. 最終的な答え

$m = 2t$

$n = -t^2$

ここで、$t$ は $t > 0$ を満たす任意の実数。