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関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

解析学合成関数関数分数式
2025/6/26

1. 問題の内容

関数 f(x)=x−1xf(x) = \frac{x-1}{x} について、合成関数 (f∘f)(x)(f \circ f)(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 (f∘f)(x)(f \circ f)(x) は、f(f(x))f(f(x)) と定義されます。つまり、f(x)f(x) の式の中に、xx の代わりに f(x)f(x) を代入します。
まず、f(x)f(x) を求めます。問題文より、
f(x)=x−1xf(x) = \frac{x-1}{x}
次に、f(x)f(x) の式の中の xx を f(x)f(x) で置き換えて、f(f(x))f(f(x)) を計算します。
f(f(x))=f(x−1x)=x−1x−1x−1xf(f(x)) = f(\frac{x-1}{x}) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}
分母と分子に xx を掛けて整理します。
f(f(x))=(x−1x−1)xx−1xx=x−1−xx−1=−1x−1f(f(x)) = \frac{(\frac{x-1}{x} - 1)x}{\frac{x-1}{x} x} = \frac{x-1 - x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}
f(f(x))=−1x−1f(f(x)) = \frac{-1}{x-1}

3. 最終的な答え

−1x−1\frac{-1}{x-1}

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