## 問題1

## 問題1

1. 問題の内容

次の5つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $\int_0^1 \sqrt{2x - x^2} \, dx$

(3) $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9}$

(4) $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^2}$

(5) $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$

## 問題1(1)の解き方の手順

(1) $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

被積分関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、これは $\arcsin(x)$ の導関数です。したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$.

定積分を計算します。

$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(-\frac{1}{2})$.

$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ および $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ であるため、

$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

## 問題1(1)の最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$

## 問題1(2)の解き方の手順

(2) $\int_0^1 \sqrt{2x - x^2} \, dx$

被積分関数 $\sqrt{2x - x^2}$ を平方完成します。

$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1 = 1 - (x-1)^2$.

$\int_0^1 \sqrt{1-(x-1)^2} \, dx$ を計算します。

ここで、$x-1 = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$.

積分区間は、 $x=0$ のとき $\sin \theta = -1$, $\theta = -\frac{\pi}{2}$ となり、$x=1$ のとき $\sin \theta = 0$, $\theta = 0$ となります。

したがって、

$\int_0^1 \sqrt{1-(x-1)^2} \, dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos^2 \theta \, d\theta$.

$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ であるため、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1+\cos(2\theta)) \, d\theta$.

$= \frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{-\frac{\pi}{2}}^0 = \frac{1}{2} [(0 + \frac{1}{2}\sin(0)) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi))] = \frac{1}{2} [0 - (-\frac{\pi}{2} + 0)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

## 問題1(2)の最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$

## 問題1(3)の解き方の手順

(3) $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9}$

$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。$a=3$ です。

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+9} = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) |_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} (\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) - \arctan(\frac{-\sqrt{3}}{3}))$.

$\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$ および $\arctan(\frac{-\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$ であるため、

$\frac{1}{3} (\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6})) = \frac{1}{3} (\frac{2\pi}{6}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9}$.

## 問題1(3)の最終的な答え

$\frac{\pi}{9}$

## 問題1(4)の解き方の手順

(4) $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^2}$

$x = \tan \theta$ と置換します。 $dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ となります。

積分区間は $x=0$ のとき $\theta = 0$, $x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

$\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta}{(1+\tan^2 \theta)^2} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 \theta}{(\sec^2 \theta)^2} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sec^2 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \, d\theta$.

$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を使用します。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1+\cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta)]_0^{\frac{\pi}{4}}$.

$= \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0))] = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$.

## 問題1(4)の最終的な答え

$\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$

## 問題1(5)の解き方の手順

(5) $\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$

$x = 2 \sinh u$ と置換します。$dx = 2 \cosh u du$.

$\sqrt{x^2+4} = \sqrt{4 \sinh^2 u + 4} = 2 \sqrt{\sinh^2 u + 1} = 2 \cosh u$.

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \int \frac{2 \cosh u}{2 \cosh u} du = \int du = u + C$.

$x=2 \sinh u$ より $\sinh u = \frac{x}{2}$ なので $u = \sinh^{-1} (\frac{x}{2})$.

$\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$より $u = \ln(\frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x^2}{4}+1}) = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2+4}}{2})$.

$\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \ln(\frac{x + \sqrt{x^2+4}}{2})|_0^2 = \ln(\frac{2 + \sqrt{8}}{2}) - \ln(\frac{0 + \sqrt{4}}{2}) = \ln(\frac{2 + 2\sqrt{2}}{2}) - \ln(1) = \ln(1+\sqrt{2}) - 0 = \ln(1+\sqrt{2})$.

## 問題1(5)の最終的な答え

$\ln(1+\sqrt{2})$