$\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、式を変形します。まず、$n - \sqrt{n^2 - 3}$ に $n + \sqrt{n^2 - 3}$ を掛けて割ります。

$n - \sqrt{n^2 - 3} = \frac{(n - \sqrt{n^2 - 3})(n + \sqrt{n^2 - 3})}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

分子を計算すると、

$(n - \sqrt{n^2 - 3})(n + \sqrt{n^2 - 3}) = n^2 - (n^2 - 3) = 3$

したがって、

$n - \sqrt{n^2 - 3} = \frac{3}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

ここで、分母を $n$ で割ります。

$\frac{3}{n + \sqrt{n^2 - 3}} = \frac{3}{n + \sqrt{n^2(1 - \frac{3}{n^2})}} = \frac{3}{n + n\sqrt{1 - \frac{3}{n^2}}} = \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3}) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n^2} \to 0$ なので、$\sqrt{1 - \frac{3}{n^2}} \to \sqrt{1} = 1$

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}})} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n(1 + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2n} = 0$

3. 最終的な答え

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