問題は、定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x+1)^2(3x-2) dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x+1)^2(3x-2) dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2x+1)^2(3x-2) = (4x^2+4x+1)(3x-2) = 12x^3 - 8x^2 + 12x^2 - 8x + 3x - 2 = 12x^3 + 4x^2 - 5x - 2$

次に、この多項式を積分します。

$\int (12x^3 + 4x^2 - 5x - 2) dx = 12 \int x^3 dx + 4 \int x^2 dx - 5 \int x dx - 2 \int dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C = 3x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$

定積分を計算するために、上記の式に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (12x^3 + 4x^2 - 5x - 2) dx = \left[ 3x^4 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

$= \left( 3\left(\frac{3}{2}\right)^4 + \frac{4}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 - \frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right) \right) - \left( 3\left(-\frac{1}{2}\right)^4 + \frac{4}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{5}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) \right)$

$= \left( 3\left(\frac{81}{16}\right) + \frac{4}{3}\left(\frac{27}{8}\right) - \frac{5}{2}\left(\frac{9}{4}\right) - 3 \right) - \left( 3\left(\frac{1}{16}\right) + \frac{4}{3}\left(-\frac{1}{8}\right) - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + 1 \right)$

$= \left( \frac{243}{16} + \frac{9}{2} - \frac{45}{8} - 3 \right) - \left( \frac{3}{16} - \frac{1}{6} - \frac{5}{8} + 1 \right)$

$= \frac{243}{16} + \frac{72}{16} - \frac{90}{16} - \frac{48}{16} - \frac{3}{16} + \frac{1}{6} + \frac{10}{16} - \frac{16}{16}$

$= \frac{243+72-90-48-3+10-16}{16} + \frac{1}{6} = \frac{168}{16} + \frac{1}{6} = \frac{21}{2} + \frac{1}{6} = \frac{63}{6} + \frac{1}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$