与えられた定積分の問題を解く。具体的には、問題(3) $\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log x \, dx$、問題(4) $\int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$、問題(5) $\int_1^2 (x-1)^3(x-2) \, dx$、問題(6) $\int_{-1/2}^{2/3} (2x+1)^2(3x-2) \, dx$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた定積分の問題を解く。具体的には、問題(3) $\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log x \, dx$、問題(4) $\int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$、問題(5) $\int_1^2 (x-1)^3(x-2) \, dx$、問題(6) $\int_{-1/2}^{2/3} (2x+1)^2(3x-2) \, dx$ を解く。

2. 解き方の手順

* **問題 (3):** $\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log x \, dx$

部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = \sqrt{x} \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{2}{3} x^{3/2}$.

$\int_1^{e^2} \sqrt{x} \log x \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \log x \right]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \log x \right]_1^{e^2} - \frac{2}{3} \int_1^{e^2} x^{1/2} \, dx$

$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \log x \right]_1^{e^2} - \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^{e^2}$

$= \frac{2}{3} (e^3 \cdot 2 - 1 \cdot 0) - \frac{4}{9} (e^3 - 1)$

$= \frac{4}{3} e^3 - \frac{4}{9} e^3 + \frac{4}{9} = \frac{8}{9} e^3 + \frac{4}{9}$

* **問題 (4):** $\int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$

部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \tan x$.

$\int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = \left[ x \tan x \right]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} \tan x \, dx$

$= \left[ x \tan x \right]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

$= \frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 \cdot 0 - \left[ -\log |\cos x| \right]_0^{\pi/4}$

$= \frac{\pi}{4} + \log (\cos \frac{\pi}{4}) - \log (\cos 0)$

$= \frac{\pi}{4} + \log \frac{\sqrt{2}}{2} - \log 1 = \frac{\pi}{4} + \log 2^{-1/2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

* **問題 (5):** $\int_1^2 (x-1)^3 (x-2) \, dx$

$t = x-1$ と置換すると、$x = t+1$、$dx = dt$。積分範囲は $x=1$ のとき $t=0$, $x=2$ のとき $t=1$.

$\int_1^2 (x-1)^3 (x-2) \, dx = \int_0^1 t^3 (t+1-2) \, dt = \int_0^1 t^3 (t-1) \, dt$

$= \int_0^1 (t^4 - t^3) \, dt = \left[ \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{4} t^4 \right]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = \frac{4-5}{20} = -\frac{1}{20}$

* **問題 (6):** $\int_{-1/2}^{2/3} (2x+1)^2 (3x-2) \, dx$

展開して計算する。

$\int_{-1/2}^{2/3} (4x^2 + 4x + 1) (3x-2) \, dx = \int_{-1/2}^{2/3} (12x^3 + 12x^2 + 3x - 8x^2 - 8x - 2) \, dx$

$= \int_{-1/2}^{2/3} (12x^3 + 4x^2 - 5x - 2) \, dx = \left[ 3x^4 + \frac{4}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 - 2x \right]_{-1/2}^{2/3}$

$= \left( 3 \cdot (\frac{2}{3})^4 + \frac{4}{3} \cdot (\frac{2}{3})^3 - \frac{5}{2} \cdot (\frac{2}{3})^2 - 2 \cdot \frac{2}{3} \right) - \left( 3 \cdot (-\frac{1}{2})^4 + \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{2})^3 - \frac{5}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \right)$

$= \left( 3 \cdot \frac{16}{81} + \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{27} - \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{9} - \frac{4}{3} \right) - \left( 3 \cdot \frac{1}{16} + \frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{8}) - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} + 1 \right)$

$= \left( \frac{16}{27} + \frac{32}{81} - \frac{10}{9} - \frac{4}{3} \right) - \left( \frac{3}{16} - \frac{1}{6} - \frac{5}{8} + 1 \right)$

$= \left( \frac{48+32-90-108}{81} \right) - \left( \frac{9-8-30+48}{48} \right) = \frac{-118}{81} - \frac{19}{48} = \frac{-118 \cdot 16 - 19 \cdot 27}{1296}$

$= \frac{-1888 - 513}{1296} = \frac{-2401}{1296} = -\frac{2401}{1296}$

3. 最終的な答え

* 問題(3): $\frac{8}{9} e^3 + \frac{4}{9}$

* 問題(4): $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$

* 問題(5): $-\frac{1}{20}$

* 問題(6): $-\frac{2401}{1296}$