定積分 $\int_0^2 |e^x - e| dx$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている定積分問題を解きます。ここでは、(4)の問題、$\int_0^2 |e^x - e| dx$ を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 |e^x - e| dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中の関数 $e^x - e$ の符号を調べます。

$e^x - e = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。

$0 \le x < 1$ のとき、$e^x < e$ なので、$e^x - e < 0$ となり、$|e^x - e| = -(e^x - e) = e - e^x$ です。

$1 < x \le 2$ のとき、$e^x > e$ なので、$e^x - e > 0$ となり、$|e^x - e| = e^x - e$ です。

したがって、積分を区間 $[0, 1]$ と $[1, 2]$ に分けて計算します。

$\int_0^2 |e^x - e| dx = \int_0^1 (e - e^x) dx + \int_1^2 (e^x - e) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^1 (e - e^x) dx = [ex - e^x]_0^1 = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 1$

$\int_1^2 (e^x - e) dx = [e^x - ex]_1^2 = (e^2 - e \cdot 2) - (e^1 - e \cdot 1) = (e^2 - 2e) - (e - e) = e^2 - 2e$

したがって、

$\int_0^2 |e^x - e| dx = 1 + e^2 - 2e = e^2 - 2e + 1 = (e - 1)^2$

3. 最終的な答え

$(e-1)^2$